大地经纬度坐标转高斯平面直角坐标系

不久前，GPS设备出现了故障，输出的数据里，平面直角坐标系的Y坐标会出现丢失的问题，而且唯独只有Y坐标有这个问题，其他数据均正常输出，接收机设置的那位师兄已经毕业，需要自行解决。尝试将GPS输出的经度L和纬度B直接进行高斯投影得到XY坐标，以解决这个问题。

较为啰嗦的理论部分就不码字了，以下为部分基础知识

1 高斯投影的分带

1.1 分带原因

因为高斯投影是一种等角横切椭圆柱投影，由于在同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大，最大值位于投影带的边缘，所以为了控制投影变形不致过大，保证地图精度，高斯投影采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度。这是高斯投影中限制长度变形最有效的方法。

1.2 分带的方法

分带分为6°带和3°带。

对于6°带，经差为6度，从零度子午线开始，自西向东每隔6度为一个投影带，全球共分60个带，用1，2，3，4，5，......表示。即东经0~6度为第一度带，其中央经线的经度为东经3度；东经6~12度为第二带，其中央经线的经度为东经9度。

设带号为n，中央子午线经度为L_0，则有：

L₀=6°n-3°；

n=(L₀+3°)/6；

已知某地的大地经度L可得带号 n = L/6的整数商+1(如果有余数)。

对于3°带，即经差为3度，从东经1.5度开始，自西向东每隔3度为一个投影带，全球共分120个带，用1，2，3，4，5，......表示。即东经1.5~4.5度为第一度带，其中央经线的经度为东经3度；东经4.5~7.5度为第二带，其中央经线的经度为东经6度；东经7.5~10.5度为第三带，其中央经线的经度为东经9度。（这样分带的方法使6度带的中央经线均为3度带的中央经线。）设带号为n'，中央子午线经度为L₀，则有：

L₀=3°n'；

n'=L₀/3；

已知某地的大地经度L可得带号 n‘ = (L-1.5)/3的整数商+1。

 

2 自然坐标与假定坐标

我国处于北半球，高斯投影的计算中，x值恒为正值，而y值有正有负，因此由高斯投影直接得到的坐标叫自然坐标，为了避免出现负的y值，规定将y值加上500km，相当于x轴向西平移了500km，得到的坐标为假定坐标（通用坐标）

 

 

 3 参考椭球

地球椭球中常用的集合参数如下：

①长半轴 a，②短半轴 b，③极化半径 c=a²/b，④扁率 f=（a-b)/a，⑤第一偏心率 e=√(a²-b²)/a ⑥第二偏心率 e'=√(a²-b²)/b

常见的椭球有北京54，西安80和大地2000等等，以下提供大地2000的椭球数据：

a = 6378137m；

b = 6356752.31414m；

c = 6399593.62586m；

f = 1/298.257222101；

e² = 0.00669438002290；

e'² = 0.00673949677548；

4 卯酉曲率半径

具体概念不介绍，后续公式有用到这个值

卯酉曲率半径 N =a/(√(1-e²sin²B)；（B为大地纬度）

5 子午线弧长

同样具体概念及推导过程不再详写。

m₀=a*(1-e²)；
m₂=3/2*e²*m_0；
m₄=5/4*e²*m_2；
m₆=7/6*e²*m_4；
m₈=9/8*e²*m_6；
a₀=m₀+1/2*m₂+3/8*m₄+5/16*m₆+35/128*m_8；
a₂=1/2*m₂+1/2*m₄+15/32*m₆+7/16*m_8；
a₄=1/8*m₄+3/16*m₆+7/32*m_8；
a₆=1/32*m₆+1/16*m_8；
a₈=1/128*m_8；
子午线弧长X = a₀*B-1/2*a₂*sin(2*B)+1/4*a₄*sin(4*B)-1/6*a₆*sin(6*B)+1/8*a₈*sin(8*B)；

6 高斯投影正算公式

即由经纬度得到xy坐标的公式，这个公式有挺多版本的，以下摘抄一种实用的，较为简洁的公式（精度为0.001米，经纬度单位均为弧度）：

经度差l = L-L₀ （L为当前经度，L₀为中央子午线经度）；

令 η = e'cosB , t = tanB , m = cosB*l；

 

x = X + N*t *[1/2*m²+1/24*(5-t²+9*η²+4*η⁴)*m⁴+1/720(61-58*t²+t⁴)*m⁶]；

y = N*[m+1/6*(1-t²+η²)*m³+1/120*(5-18*t²+t⁴+14*η²-58*η^2*t²)*m⁵]；

输完公式之后可以尝试使用一下算例检查公式正确与否：

7 结尾

如果转换完成之后发现对应的距离不对，可以尝试检查一下GPS输出的经纬度的单位格式，比如我的设备输出纬度为23.116589，并不是指的23.116589°，而是指的23°11.6589’，之前一直没有发现这个错误，以至于转换完的距离跟实际距离比例差异非常大。本人机械专业，无相关专业知识，仅仅为了解决相关问题查阅了相关的书籍，如有纰漏，恳请各位读者指出，谢谢！本文参考吕志平主编的《大地测量学基础》第二版。