OI做题方法总结
前言
永远记住：是根据思路来想需要的算法。而不是用思路来契合算法。
调不出来时多造几组样例，以躺平、无所谓的心态去调
可以通过思考部分分来取得正解，比如菊花图、链图。
不要随便开long long，常数大
考试时注意时间分配
树论的题，不是数据结构要么dp要么推结论贪心
看完题目先模拟一下样例，能摸出很多性质
找出有用的性质这题就成功了一半了。
还有就是要把算法/数据结构看作手中的工具，灵活运用，改造，堆叠在一起使用
一般一道题就四种切入口
- 直接做
- 考虑题目是否有单调性或贪心性
- 用数据结构来加速模拟过程或是维护修改等
- 数型结合？转化成图或树结构？
dp：记得写初始值，清空数组，想清楚枚举边界和递推式的使用条件，这对答案的正确性影响很大
数组：线段树开4倍，双向边开2倍，要动态开点或者可持久化的能开多大开多大。
树
常用方法：
- 贪心
- 树形dp
- 重链剖分
- 长链剖分（多用于优化dp）
- 点分治（联通块有关问题，比如求树中指定距离的点对个数）
- 树上莫队（如果要求路径信息考虑用欧拉序列，即每个点dfs开始和结束都放入序列内，并标记是进入还是退出）
注意点分治的过程中要维护一个isroot[i]数组，标记i是否曾今当过重心，getroot,divide,getdep函数碰到isroot[to]=true的点都要避开（否则等着TLE吧）
注意树形背包的复杂度是$nV$的
树形dp的思考方式一般是
考虑叶子向其父亲的贡献（一片两片三片地递增地考虑）
然后再逐层往上考虑，总结性质
如果题目中有操作之类的，考虑树链剖分维护
树链剖分的懒标记有两种，一种在线段树上推，一种直接通过树上推。
询问路径的最值或方案数之类的，考虑用路径拼接，有两种常见方法
- 树形dp，开一个维度标记已经决定了多少个端点
- 每一个点从儿子那继承一堆这个点为起点，终点在子树内的路径，然后拼接
一些方法&结论：
如果有奇偶等限制，考虑黑白染色
对于既有边权又有点权的图，考虑把它们集中于点上
树上维护信息的题，考虑启发式合并（二维树形dp或维护方案）
按大小分轻重儿子：重链剖分
按长短分轻重儿子：长链剖分
换根操作：可以用分类讨论避免换根导致的子树信息重置。
比如上面这张图，原本的根是最高的那个。
现在要把红色的点换为根。
那么原图只有新根的祖先会收到影响。即，他们的子树变为了整棵树除去【它到新根的那个儿子的子树】 。
这样它的子树的区间会被拆成一个前缀区间一个后缀区间。可以考虑将dfn序列倍长，将前缀拼到后缀后面去。
其他绿色点的子树信息均不受影响。
遇到求指定范围森林里树的个数，即在全部是树的环境中求联通块个数，考虑如下结论：树的个数=点数-边树。
树的重心一定在从根节点出发的重链上，故除dp外我们还可以从根节点出发沿重链前进，遇到第一个点满足父亲那一块面积小于总大小的一半。（CSP-S d2t3）
在树上求经过一些点的最短路径，这条路径等于这些点的最小生成树的两倍，且一定是按照这些点的dfs序依次经过（[SDOI2015]寻宝游戏）
图
图的核心思维就是把图问题转化为树问题求解
图的常用方法不多，大概就以下几种
- tarjan
- 最短/长路
- 最小/大生成树
- 并查集
如果有限定恰好几步或是多层结构一样的图，考虑矩阵快速幂优化（把邻接矩阵相乘k次就是走了k步后的距离矩阵）
若图论中要大规模建边，考虑线段树优化建边（【BZOJ3218】a + b Problem，[CF787D] legacy ）
对于数据较小，状态二选一，求最大的且有图论背景的考虑最小割（【NOI2009】植物大战僵尸,【BZOJ2127】happiness,【BZOJ1143】【CTSC2008】祭祀）
图论dp可以点数较小时，dp层数较多时可以考虑矩阵乘法优化（「BZOJ1875」[SDOI2009] HH去散步）
有向图dp时，若可以走回头路，则情况会很复杂，考虑先缩点变成DAG，再dp
有些题目无法直接构造，可以转化为每个要求为一些限制，求这个限制系统有无解。（比如CSP-S d1t3).检查可以通过并查集、链表、拓扑排序、搜索完成。
要在一个序列的基础上生成一个排列，可以考虑转化为图论问题，从i向$a_i$处连边。
最值规划
常用方法：
- 贪心
- dp
- 二分
- 网络流（其实可以看作一种带反悔的贪心或者dp）
- 模拟退火（不会）
网络流有时可以考虑用数据结构模拟。
贪心有时可以和dp结合起来用
（其实很多方法都是通的，可以搭配起来用）
方案统计
题型：求一些满足某些限制的方案数
常见套路（也是结合起来用）
- 正反互换：用总方案数-不满足限制的方案数
- 排列组合
- 容斥（有$O(n)$和$O(2^n)的$
- dp
有些题目需要去重，可以考虑重复的方案有什么共同的性质，再体现在代码中。
如果要求的是恰好有k个满足的情况数，但只能求出至多或至少的情况数，考虑组合容斥。
一些优化
dp
先考虑最朴素的dp方式
然后再考虑优化
但是要注意正确性
- 删减状态：一些意义相近的状态或许可以合并，或者可以用一些性质省略掉的，比如差分等操作（emiya家今天的饭）
- 数据结构优化：单调队列，斜率优化，线段树/树状数组，堆等
同构dp方程优化：
对于每一个位置的dp方程都一样，没有判断句等东西影响，可采取这种优化。
- f[i][j]，i很大，j在n^3范围内，矩阵快速幂
- f[i][j]，i在n^2范围内，j很大，且转移方程没有min,max之类的东西：拉格朗日插值，盲猜次数<=n
- 也可以考虑是否能交换i,j的枚举顺序
概率dp，有可能递推到后面概率变化很小，这样就不需要推完整个n。
序列维护相关
这种题就应该上大数据结构来搞
维护颜色数、mex考虑莫队、主席树、分块，也可以考虑维护一个pre[i]数组表示上一个与这个位置相同颜色的的位置（noi online t2)
计算一堆区间函数，一个一个函数统计是比较低效的，可以从贡献的角度考虑
在线
- 线段树/树状数组
- 平衡树（节点并不一定代表一个位置，也可以代表一段区间）
- 分块
- 倍增
- 树链剖分（树中路径的维护）
- 点分治（树中指定距离内区块的维护）
- lct（带删连边操作的）
离线
- 莫队
- 整体二分
- cdq
有个套路就是维护区间min,max,相当于在操作区间内找出一个分割点分开处理
有些区间推平操作可以用维护min,max的方式来维护
区间整数除法可以维护min,max，然后看作区间减法来处理
若要求序列中每个点的left[i]和right[i]，即左边和右边距离它最近的且比它大\小的点，用单调队列两边各跑一次即可
求最长上升\下降子序列可以用树状数组做到nlogn，即正序枚举对于已经计算完的j，把dp[j]插到树状数组中的val[j]处。val[j]为第j位的权值，计算dp[i]=树状数组中[1,val[i]-1]区间的最大dp值+1，然后再把dp[i]插入。这样需要对权值进行离散化。
bzoj一个简单的询问：求两段区间权值相同的位置的对数，可以将其拆成四个前缀询问用莫队处理，具体请百度。
其他
除了遍历外，可以用dp初始化数组
bool开桶开不下可以考虑bitset
O（1）统计一个数二进制位的一的个数：先预处理$2^{16}$以内的数的答案，然后将目标数不断除与$2^{16}$
期望具有可加性，即两个随机变量的和的期望等于两个随机变量的期望的和，即$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
