[数论]莫比乌斯反演2
索引
前言
本篇内容为定理的证明
定理请参考：>传送门<
三个性质的证明
性质1证明:
这个式子是莫比乌斯函数真正的定义式
但是我们还是有证明
当\(n=1\)时，显然
\[\sum_{d|n}\mu(d)=\mu(1)=1
\]
根据定义直接得到的结论
当\(n\neq1\)时，
\[\sum_{d|n}=\mu(a_1)+\mu(a_2)+\dots+\mu(a_m)+\mu(a_1a_2)+\dots+\mu(a_1a_2 \dots a_m)
\]
这里的a指质因数，m是质因数的个数，这一步是直接展开。
\[=\sum_{i=0}^{m}(-1)^iC^i_m
\]
·上式在下文中被称为第二个式子
如果选择i个质因子作为d的值，有\(C_m^i\)种选法
\[=0
\]
这里博主给一个杨辉三角的解释，我们假设m为奇数，那么显然因为\(C_m^i=C_m^{m-i}\)，又因为\((-1)^i=-(-1)^{m-i}\)，所以第二个式子的值肯定为0，若m为偶数，我们设上一层的杨辉三角的
值为\(1+a_1+a_2+\dots+a_{m-1}+1\)，且m为奇数，那么本层的杨辉三角值珂通过上一层推出，带入第二个式子得\(1-1-a_1+a_1+a_2-a_2-a_3+\dots+a_{m-1}-a_{m-1}-1+1\)
得到 \(0\)。
性质1证毕
性质2证明:
待更
性质3证明:
待更
反演推论的证明
对于所有的满足
\[\sum_{k,d\geq1}|f(n/kd)|<\infty
\]
的函数，莫比乌斯反演都成立
假设
\[g(n)=\sum_{d\geq1}f(n/d)
\]
那么
\[\sum_{d\geq1}\mu(d)g(n/d)=\sum_{d\geq1}\mu(d)\sum_{k\geq1}f(n/kd)
\]
\[=\sum_{m\geq1}f(n/m)\sum_{d,k\geq1}\mu(d)[m=kd]
\]
\[=\sum_{m\geq1}f(n/m)\sum_{d \backslash m}\mu(d)
\]
\[=\sum_{m\geq1}f(n/m)[m=1]=f(n)
\]
证毕。
另一个方向上证明类似。
后记
好书推荐：《具体数学:计算机珂学基础[第二版]》 作者：[美]·Ronald L.Graham ·Donald E.Knuth ·Oren Patashnik
忽略那个珂字
参考资料
《具体数学:计算机科学基础[第二版]》 作者：[美]·Ronald L.Graham ·Donald E.Knuth ·Oren Patashnik 参考内容:莫比乌斯反演的证明
