[数据结构]珂朵莉树

前言

关于珂朵莉

 珂朵莉是世界上最幸福的女孩子，没有之一，不接受任何反驳
\(\ \ \ \ \text{最幸福最幸福最最最幸福}\dots\text{的女孩子哦!}\)
    
    上图左珂朵莉·诺塔·瑟里欧尼斯，右威廉·克梅修

关于这个数据结构的名字

为了CF896C发明了这个算法，而这道题题面又与珂朵莉有关，故称为珂朵莉树，由于发明者的原因，也珂叫ODT(Old Driver Tree).
CF896C中文名：威廉，珂朵莉与瑟里欧尼斯
下面我们切入正题。

应用

解决各种线段树无法完成的操作
注意珂朵莉树保持复杂度主要依靠assign操作，所以题目中必须有区间赋值
还有很重要的一点：数据需纯随机

---

构造

用一个带结构体的集合(std::set)维护序列
集合中的每个元素有左端点，右端点，值
下面展示该结构体的构造:

struct Node{
	int l, r;
	mutable int val;
	Node(int a = -1, int b = -1, int c = 0){
		l = a, r = b, val = c;
	}
	bool operator < (const Node &a){
		return l < a.l;
	}
};

*mutale,意为可变的，即不论在哪里都是可修改的，用于突破C++带const函数的限制。

---

关键操作

Split

set::iterator split(int pos)
将原来含有pos的区间分为\([l,pos)\)和\([pos,r]\)两段。
返回一个std::set的迭代器，指向\([pos,r]\)段
代码

set<Node>::iterator split(int pos){
	set<Node>::iterator it = st.lower_bound(Node(pos));
	if (it != st.end() && it->l == pos) return it;
	--it; Node tmp = *it; st.erase(it);
	st.insert(Node(tmp.l, pos - 1, tmp.val));
	return st.insert(Node(pos, tmp.r, tmp.val)).first; //first return iterator
}

Assign

注意:以后在使用split分裂区间的时候，请先右后左
区间赋值操作，也是珂树维持其复杂度的关键函数
很暴力的思想，既然刚刚我们写了一个split，那么就要把它用起来。
首先split出l并记返回值为itl，然后split出r+1并记返回值为itr，显然我们要操作的区间为\([itl,itr)\)，那么我们将\([itl,itr)\)删除(std::set.erase(itl, itr))，再插入一个节点Node,其l为l，r为r，val为赋值的val。
我们注意到因为这个操作， \([itl,itr)\)中的所有节点合并为了一个节点，大大降低了集合的元素数量，因此调整了我们的复杂度
代码(只有三行...)

void assign(int l, int r, long long val){
	set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
    st.erase(itl, itr);
    st.insert((Node){l, r, val});
}

其他操作

通用方法是split出l，split出r+1，然后直接暴力扫描这段区间内的所有节点执行需要的操作
例如我们的区间和查询：

long long querySum(int l, int r){
    set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l); long long res = 0;
    for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
        res += (it->r - it->l + 1) * it->val;
    return res;
}

例如我们的区间加：

void add(int l, int r, long long val){
    set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
    for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
        it->val += val;
}

例如我们的区间第k小：
前置需要
algorithm库中的std::sort(快速排序)
std::map(方便起见使用其中的pair),std::vector(方便起见)
还是split出l，split出r+1，然后将每个节点的值和个数(即r-l+1)组成一个pair(注意为了排序，将值放在第一关键字)，将pair加入一个vector中
将vector排序
从vector的begin开始扫描，不停的使k减去vector当前项的第二关键字，若\(k \leq 0\)，返回当前项的第一关键字
代码实现

long long queryKth(int l, int r, int k){
    vector< pair<int, int> > vec(0);
    set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
    for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
        vec.push_back(make_pair(it->val, it->r - it->l + 1));
    sort(vec.begin(), vec.end());
    for (vector< pair<int, int> >::iterator it = vec.begin(); it != vec.end(); ++it)
        if ((k -= it->second) <= 0) return it->first;
    return -1; //note:if there are negative numbers, return another impossible number.
}

---

代码实现

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>

using namespace std;

//build
struct Node{
    int l, r;
    mutable long long val;
    Node(int a = -1, int b = -1, long long c = 0){
        l = a, r = b, val = c;
    }
    bool operator < (const Node &a) const{
        return l < a.l;
    }
};

set<Node> st;

//modify
set<Node>::iterator split(int pos){
    set<Node>::iterator it = st.lower_bound(Node(pos));
    if (it != st.end() && it->l == pos) return it;
    --it; Node tmp = *it; st.erase(it);
    st.insert(Node(tmp.l, pos - 1, tmp.val));
    return st.insert(Node(pos, tmp.r, tmp.val)).first; //first return iterator
}

void assign(int l, int r, long long val){
	set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
    st.erase(itl, itr);
    st.insert((Node){l, r, val});
}

void add(int l, int r, long long val){
    set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
    for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
        it->val += val;
}

//query
long long querySum(int l, int r){
    set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l); long long res = 0;
    for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
        res += (it->r - it->l + 1) * it->val;
    return res;
}

long long queryKth(int l, int r, int k){
    vector< pair<long long, int> > vec(0);
    set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
    for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
        vec.push_back(make_pair(it->val, it->r - it->l + 1));
    sort(vec.begin(), vec.end());
    for (vector< pair<long long, int> >::iterator it = vec.begin(); it != vec.end(); ++it)
        if ((k -= it->second) <= 0) return it->first;
    return -1; //note:if there are negative numbers, return another impossible number.
}

int main(){
	
    return 0;
}

---

实际应用

CodeForces
896C Willem, Chtholly and Seniorious
珂树算法发源地
数据还要随机生成，非常毒瘤
好在操作中规中矩
吐槽：样例错了调了好久，发现快速幂打错了，交了一次WA on test 3，然后发现vector忘开long long
代码

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>

using namespace std;

long long read(){
    long long x = 0; int zf = 1; char ch = ' ';
    while (ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar();
    if (ch == '-') zf = -1, ch = getchar();
    while (ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); return x * zf;
}

namespace Qpow{
	long long pow(long long a, long long b, long long mod){
		if (!a) return 0;
		long long res = 1; a %= mod;
		for ( ; b; (a *= a) %= mod, b >>= 1ll)
			if (b & 1) (res *= a) %= mod;;
		return res;
	}
};

//build
struct Node{
    int l, r;
    mutable long long val;
    Node(int a = -1, int b = -1, long long c = 0){
        l = a, r = b, val = c;
    }
    bool operator < (const Node &a) const{
        return l < a.l;
    }
};

set<Node> st;

//modify
set<Node>::iterator split(int pos){
    set<Node>::iterator it = st.lower_bound(Node(pos));
    if (it != st.end() && it->l == pos) return it;
    --it; Node tmp = *it; st.erase(it);
    st.insert(Node(tmp.l, pos - 1, tmp.val));
    return st.insert(Node(pos, tmp.r, tmp.val)).first; //first return iterator
}

void assign(int l, int r, long long val){
	set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
    st.erase(itl, itr);
    st.insert((Node){l, r, val});
}

void add(int l, int r, long long val){
    set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
    for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
        it->val += val;
}

//query
long long querySum(int l, int r){
    set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l); long long res = 0;
    for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
        res += (it->r - it->l + 1) * it->val;
    return res;
}

long long querySumWithPow(int l, int r, long long x, long long mod){
    set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l); long long res = 0;
    for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
        (res += (it->r - it->l + 1) * Qpow::pow(it->val, x, mod)) %= mod;
    return res;
}

long long queryKth(int l, int r, int k){
    vector< pair<long long, int> > vec(0);
    set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
    for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
        vec.push_back(make_pair(it->val, it->r - it->l + 1));
    sort(vec.begin(), vec.end());
    for (vector< pair<long long, int> >::iterator it = vec.begin(); it != vec.end(); ++it)
        if ((k -= it->second) <= 0) return it->first;
    return -1; //note:if there are negative numbers, return another impossible number.
}

long long seed;
long long a[100005];

inline long long rnd(){
	long long ret = seed; seed = (seed * 7 + 13) % 1000000007;
	return ret;
}

int main(){
	int n = read(), m = read(); seed = read(); long long vmax = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		a[i] = (rnd() % vmax) + 1;
		st.insert((Node){i, i, a[i]});
	}
	long long x, y;
	for (int i = 1; i <= m; ++i){
	    int op = (rnd() % 4) + 1, l = (rnd() % n) + 1, r = (rnd() % n) + 1;
	    if (l > r){int tmp = l; l = r, r = tmp;}
	    if (op == 3)
	        x = (rnd() % (r - l + 1)) + 1;
	    else
	        x = (rnd() % vmax) + 1;
	    if (op == 4)
	        y = (rnd() % vmax) + 1;
	    if (op == 1) add(l, r, x);
	    else if (op == 2) assign(l, r, x);
	    else if (op == 3) printf("%I64d\n", queryKth(l, r, x));
	    else if (op == 4) printf("%I64d\n", querySumWithPow(l, r, x, y));
	}
    return 0;
}