[数论]莫比乌斯反演1
索引
前言
本篇内容全部为定理，无证明
定义
莫比乌斯函数的符号为\(\mu\)，通俗的来讲
\[ \mu(n) =
\left\{
\begin{matrix}
1 & n=1\\
(-1)^k & n = p_1p_2p_3\dots p_k\\
0 & \text{其他情况}
\end{matrix}
\right.
\]
简单的说就是，如果\(n = 1\), \(\mu(n) = 1\)；\(n\)的因数多于两个时\(\mu(d)=(-1)^k\)，\(k\)为\(n\)的因数个数，其余时候\(\mu(n)=0\)。
其实真正的定义式如下：
\[\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]
\]
然而方便起见我们还是采用最上面那个。
莫比乌斯函数的三个性质
1、莫比乌斯函数在n=1时\(\sum_{d|n}\mu(d)\)为1，其他时候为0
\[\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]
\]
P.S.这条本来不是性质，是定义
2、莫比乌斯函数是积性函数（不完全积性）
即:
\[\mu(m \times n) = \mu(m) \times \mu(n)
\]
\[\text{当且仅当}gcd(m,n)=1
\]
3、对于任意的整数n
\[\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}
\]
莫比乌斯反演
形式A
若在\(N^+\)上有两个函数\(f(n)\)和\(g(n)\)满足
\[g(n)=\sum_{d|n}f(n)
\]
那么
\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(\frac{n}{d})
\]
形式B
若在\(N^+\)上有两个函数\(f(n)\)和\(g(n)\)满足
\[g(n)=\sum_{d|n}f(n)
\]
那么
\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)
\]
计算莫比乌斯函数
做法A:定义法
暴力枚举每一个数的质因子及其幂次，根据定义判断即可。效率较低。
做法B:线性筛
前文讲到了莫比乌斯函数是积性函数，那么我们珂以用线性筛来计算
首先，可以确定的是质数的函数值一定是\(-1\)
然后，如果是被素数更新到的合数，那么每一次都取反（1变-1，-1变1）。
要保证被最小的质因子更新
代码
void getMu(int n){
mu[1] = 1; is_not_prime[0] = is_not_prime[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i){
if (!is_not_prime[i]) mu[primes[++prime_num] = i] = -1;
for (int j = 1; j <= prime_num && primes[j] * i <= n; ++j){
is_not_prime[i * primes[j]] = 1;
if (!(i % primes[j])) break;
else
mu[primes[j] * i] = -mu[i];
}
}
}
参考资料
莫比乌斯反演 作者：[中]·Gaussian 参考内容:部分性质
「莫比乌斯反演」学习笔记 作者：[中]·Chhokmah 参考内容:莫比乌斯函数的计算
