graph | hungary

匈牙利算法，求二分图最大匹配。

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。（M为一个匹配）

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

• P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。所以Line 25-27从first part出发，不从二分图的另一部分出发。Line 12实现了交替出现的逻辑；node->neig匹配，当且仅当neig没有被其他点匹配，或者neig被first中的其他点matches[neig]匹配，并且从matches[neig]能够找到一条增广路径。这里就实现了交替的逻辑了。
• 将M和P进行异或操作(去同存异)可以得到一个更大的匹配M’。这是因为，属于M的边和不属于M的边交替出现，且第一和最后一条边都不属于M，所以增广路径中，不属于M的边比属于M的边多1，去同存异之后，一定会得到一个更大的匹配（加1了）。Line 13实现的是去同存异的逻辑。如果从node到neig存在一条增广路径，那么中间这些相同的部分直接省略。
• M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>

using namespace std;

bool augment(vector<vector<int> > &adj, int node, 
        vector<bool> &visited, vector<int> &matches) {
    for (auto neig : adj[node]) {
        if (!visited[neig]) {
            visited[neig] = true;
            if (matches[neig] == -1 || augment(adj, matches[neig], visited, matches)) {
                matches[neig] = node;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int hungary(vector<vector<int> > &adj, vector<int> &first) {
    vector<bool> visited;
    vector<int> matches(adj.size(), -1); 
    int count = 0;
    for (auto f : first) {
        visited.assign(adj.size(), false);
        if (augment(adj, f, visited, matches)) {
            count++;
        }
    }
    for (int i = 0; i < adj.size(); ++i) {
        cout << i << "<->" << matches[i] << endl;
    }
    return count;
}

int main(int argc, char** argv) {
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    int first, n, m;
    cin >> n >> first >> m;
    vector<vector<int> > adj(n);
    vector<int> left;
    for (int i = 0; i < first; ++i) {
        int l;
        cin >> l;
        left.push_back(l);
    }
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int n1, n2;
        cin >> n1 >> n2;
        adj[n1].push_back(n2);
        adj[n2].push_back(n1);
    }

    cout << hungary(adj, left) << endl;
    return 0;
}

时间复杂度是O(VE)，空间复杂度感觉O(V)就行了啊，为什么其他人都说是O(V+E)？.