随机概率题

1. 给定rand3()能随机生成整数1到3的函数,写出能随机生成整数1到7的函数rand7()；

用3*(rand3() - 1) + rand3()生成1-9的数。然后再从1-9中生成1到7.

这种思想是基于，rand()产生[0,N-1]，把rand()视为N进制的一位数产生器，那么可以使用rand()*N+rand()来产生2位的N进制数，以此类推，可以产生3位，4位，5位...的N进制数。这种按构造N进制数的方式生成的随机数，必定能保证随机。

int x = 0;
do {
    x = 3 * (rand3() - 1) + rand3();
} while (x > 7); 
return x;

如果已经randm()能随机生成1到m的整数，写出生成整数1到n的函数randn()，也就是

用m * (randm() - 1) + randm()生成1-m^2，然后再踢掉n+1-m^2这些数。

int x = 0, max = m * m / n * n;
do {
    x = m * (randm() - 1) + randm();
} while (x > max); 
return 1 + (x % n);

2. 已知随机函数rand(),以p的概率产生0，以1-p的概率产生1，现在要求设计一个新的随机函数newRand(), 使其以1/n的等概率产生1~n之间的任意一个数。

先构造一个函数，使得等概率生成0和1。然后用它，以二进制的方式构造出0~n-1。然后加1就成了1~n。

int rand01() {
    while (true) {
        int a = rand(), b = rand();
        if (a == 0 && b == 1) return 0;
        if (a == 1 && b == 0) return 1;
    }
}
int randn() {
    int ans = 0;
    do {
        for (int i = 0; n; n >>= 1, i++) {
            if (rand01() == 1) {
                ans |= (1 << i);
            }
        }
    } while (ans >= n);
    return ans + 1;    
}

 3. 帽子问题：有n位顾客，他们每个人给餐厅的服务生一顶帽子，服务生以随机的顺序归还给顾客，请问拿到自己帽子的顾客的期望数是多少？

答案：使用指示随机变量来求解这个问题会简单些。定义一个随机变量X等于能够拿到自己帽子的顾客数目，我们要计算的是E[X]。对于i=1, 2 ... n，定义Xi =I {顾客i拿到自己的帽子}，则X=X1+X2+...Xn。由于归还帽子的顺序是随机的，所以每个顾客拿到自己帽子的概率为1/n，即Pr(Xi=1)=1/n，从而E(Xi)=1/n，所以E(X)=E(X1+X2+...Xn)=E(X1)+E(X2)+...E(Xn)=n*1/n = 1。即大约有1个顾客可以拿到自己的帽子。

4. 如果在高速公路上30分钟内看到一辆车开过的几率是0.95，那么在10分钟内看到一辆车开过的几率是多少？(假设常概率条件下)
答案：假设10分钟内看到一辆车开过的概率是x，那么没有看到车开过的概率就是1-x，30分钟没有看到车开过的概率是(1-x)^3，也就是0.05。所以得到方程(1-x)^3 = 0.05 ，解方程得到x大约是0.63。

5. 生日悖论：一个房间至少要有多少人，才能使得有两个人的生日在同一天？
答案：对房间k个人中的每一对(i, j)定义指示器变量Xij = {i与j生日在同一天} ，则i与j生日相同时，Xij=1，否则Xij=0。两个人在同一天生日的概率Pr(Xij=1)=1/n。则用X表示同一天生日的两人对的数目，则E(X)=E(∑ki=1 ∑kj=i+1 Xij) = C(k,2)*1/n = k(k-1)/2n，令k(k-1)/2n >=1， 可得到k>=28，即至少要有28个人，才能期望两个人的生日在同一天。

转自：http://blog.csdn.net/hxz_qlh/article/details/1297877

6. 如果只是想要随机生成一定概率的数。比如20%生成0，20%生成1，60%生成2.

int rand(int num[], float prob[], int n) {
    srand(time(NULL));
    int random = rand() % 100 + 1;    
    
    int range = 0, pre = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        range += static_case<int>(prob[i] * 100);
        if (random > pre && random <= range) {
            return num[i];
        }
        pre = range;
    }
    return -1; //error
}