求圆圈中剩下的最后一个数字

n个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈中删除第m个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字）。当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

这个问题在wiki上叫约瑟夫斯问题。

一开始的序列是

S(n): n-1, 0, 1, 2, 3, ...., n -2 （一个环）

删除了第k=(m-1)%n个数，之后变成

S': n-1, 0, 1,2,...,k-1,k+1,...,n-2

S(n-1): n-2, 0, 1,2,3, ...,n-3 

将S(n-1)按照f(x)=(x+k+1)%n 进行映射可以得到S'，也就是0->k+1, 1->k+2....

将S'继续删除第k个数，以此类推，最后一个序列，也是可以通过S(1)来映射。

S' = (S(n-1) + (m-1)%n + 1) % n = (S(n-1) + m) % n.

那么对于每个序列的最后一个数， 也是满足这个映射。

f(n) = (f(n-1) + m) % n.

当n==1的时候，只有一个数，那么最后一个数肯定就是0，f(1) =0.

然后就可用动态规划去做了。

This approach has running time $O(n)$, but for small k and large n there is another approach. The second approach also uses dynamic programming but has running time $O(k\log n)$. It is based on considering killing k-th, 2k-th, ..., $(\lfloor n/k \rfloor k)$-th people as one step, then changing the numbering.

这里提到的第二种方法为什么会是$O(k\log n)$，没想明白？ 把杀掉k-th, 2k-th, ..., $(\lfloor n/k \rfloor k)$-th当个步骤，所以总共需要k步。那也就是说，重新编号的开销是$\log n$.怎么做到的？