简单实用数学

等比数列的通项公式：\(a_n=a_1q^{n-1}\)

求和公式: \(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} (q \neq 1) \)

等差数列的通项公式: \(a_n=a_1+(n-1)d\)

求和公式：\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)

特征值和特征向量：

设 A 是 n 阶方阵，若有数$\lambda$ 和非零向量 $x$ ，使得

 $Ax = \lambda x$

称数$\lambda$ 是 A 的特征值，非零向量 x 是 A 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

求法： 先用行列式$|A-\lambda E| = 0$求出特征值，然后再求出特征向量。$E$是单位矩阵。

2阶矩阵的行列式：$\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix} = a_{1,1} a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}$
3阶矩阵的行列式：$\displaystyle \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+ a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}$

协方差矩阵：

假设X是以n个标量随机变量组成的列向量，

$X = \begin{bmatrix}X_1 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix}$
并且$\mu_i$是其第i个元素的期望值，即, $\mu_i = \mathrm{E}(X_i)$。协方差矩阵被定义的第i，j项是如下：

$\Sigma_{ij}
= \mathrm{cov}(X_i, X_j) = \mathrm{E}\begin{bmatrix}
(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)
\end{bmatrix}$
即：

$\Sigma=\mathrm{E}
\left[
\left(
\textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}]
\right)
\left(
\textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}]
\right)^\top
\right]$

解一元二次方程：

因式分解法
把一个一元二次方程变形成一般形式$ax^2+bx+c=0\,\!$后，如果$ax^2+bx+c=0\,\!$能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0\,\!$存在两个实根$x_1,x_2，$那么它可以因式分解为$a(x-x_1)(x-x_2)=0\,\!$。

例如，解一元二次方程

$x^2-3x+2=0$
时，可将原方程左边分解成$\left (x-1 \right)\left (x-2 \right)=0。$所以$x-1=0 \quad x-2=0，$可解得$x_1=1 \quad x_2=2$。

公式解法
对于$ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)$，它的根可以表示为：

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$.

三角形性质：

设a、b为所知的两边，C为该夹角，三角形面积$S=\frac{1}{2}ab\sin{C}$。

已知三边长
希罗公式（又称海伦公式）： 设p等于三角形三边和的一半：
$p=\frac{a+b+c}{2}$
则
$S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

余弦定理：
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cdot\cos\beta$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos\gamma$

三角不等式：
三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等，则是退化三角形。
三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

正弦定理是三角学中的一个定理。它指出：对于任意$\triangle ABC$，a、b、c分别为$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对边，R为$\triangle ABC$的外接圆半径，则有
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\sin^2\!x + \cos^2\!x = 1,\,$
$\sin(x+y) = \sin\!x\cos\!y + \cos\!x\sin\!y,\,$
$\cos(x+y) = \cos\!x\cos\!y - \sin\!x\sin\!y,\,$