ACM数论之旅16---母函数（又名生成函数）（痛并快乐着(╭￣3￣)╭）
（前排出售零食瓜子）
前言：
母函数是个很难的东西，难在数学
而ACM中所用的母函数只是母函数的基础
应该说除了不好理解外，其他都是非常简单的
母函数即生成函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。
但是ACM中的母函数木有像数学那么深究，应用的都是母函数的一些基本
（就好比方程的配方，因式的分解，写起来容易，你用电脑写起来就麻烦了，所以学计算机就不要老跟数学家瞎闹(￣３￣)）
什么是母函数
就是把一个已知的序列和x的多项式合并起来，新产生的多项式就叫原来序列的母函数
至于怎么合并，看这个例子
序列{0,1，2，3，4，5...n}的母函数就是
f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n（这个x没有任何意义，应该说，你不需要把它当做一个函数，你只要知道母函数这么写就可以了）
序列{1,1,1,1,1......}的母函数就是
f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4....
二项式展开的序列比如这个{1,4,6,4,1,0,0,0,0,0.....}是C(4,0)到C(4,4)的系数，那它的母函数就是
f(x)=1+4x+6x^2+4x^3+1x^4
母函数就长这样，对正常人来讲，这种东西毫无意义( ° △ °|||)
那看点有意义的东西（以下都是经典题型，我从杭电ACM课件抄来的）
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
假如x的幂次数表示几克的砝码
那么
1克的砝码表示为1+x^1
2克的砝码表示为1+x^2
3克的砝码表示为1+x^3
4克的砝码表示为1+x^4
每个砝码都可以选择取或不取
所以这里的1可以认为1*x^0，表示不取这颗砝码
那么把这些乘起来
(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=1+(x^1)+(x^2)+2(x^3)+2(x^4)+2(x^5)+2(x^6)+2(x^7)+(x^8)+(x^9)+(x^10)
根据指数来看，我们可以称出0~10这么多的重量，其中3~7的系数为2，说明有2种称的方法
那么我们来细看一遍
0：（什么砝码都不放）.......................（1种）
1：1.............................................（1种）
2：2.............................................（1种）
3：3或1+2.....................................（2种）
4：4或1+3.....................................（2种）
5：1+4或2+3.................................（2种）
6：2+4或1+2+3..............................（2种）
7：3+4或1+2+4..............................（2种）
8：1+3+4......................................（1种）
9：2+3+4......................................（1种）
10：1+2+3+4.................................（1种）
分毫不差(・ˍ・*)
所以说母函数在ACM就是这么用的，跟函数没关系，跟写法有关系。。。
再来一题
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：（每张邮票的数量是无限的）
那么
1分：(1+x^1+x^2+x^3+x^4+......)
2分：(1+x^2+x^4+x^6+x^8+......)
3分：(1+x^3+x^6+x^9+x^12+......)
然后这3个乘起来（让电脑去乘吧）
对于这种无限的，题目肯定会给你他询问的数值的范围，计算到最大的范围就可以了
附代码：
1 #include<cstdio> 2 typedef long long LL; 3 const int N = 100 + 5;//假如题目只问到100为止 4 const int MAX = 3;//题目只有1,2,3这3种邮票 5 LL c1[N], c2[N];//c2是临时合并的多项式，c1是最终合并的多项式 6 int n; 7 void init(){ 8 c1[0] = 1;//一开始0的情况算一种 9 for(int i = 1; i <= MAX; i ++){//把1分到MAXN的邮票合并，变成一个多项式 10 for(int j = 0; j < N; j += i){//i分的邮票，步长是i 11 for(int k = 0; j + k < N; k ++){//从x^0到x^N遍历一遍 12 c2[j + k] += c1[k];//因为j的所有项系数为1，所以c1[k]可以看成c1[k]*1; 13 } 14 } 15 for(int j = 0; j < N; j ++){//把c2的数据抄到c1，清空c2 16 c1[j] = c2[j]; 17 c2[j] = 0; 18 } 19 } 20 } 21 int main(){ 22 init(); 23 while(scanf("%d", &n) != EOF){ 24 printf("%I64d\n", c1[n]); 25 } 26 }
我们就来把这个模板用于实际吧
hdu 1028
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
题目问一个数字n能够拆成多少种数字的和
比如n=4
4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
有5种，那么答案就是5
AC代码：
1 #include<cstdio> 2 typedef long long LL; 3 const int N = 120 + 5; 4 const int MAX = 120 + 5; 5 LL c1[N], c2[N]; 6 int n; 7 void init(){ 8 c1[0] = 1; 9 for(int i = 1; i <= MAX; i ++){ 10 for(int j = 0; j < N; j += i){ 11 for(int k = 0; j + k < N; k ++){ 12 c2[j + k] += c1[k]; 13 } 14 } 15 for(int j = 0; j < N; j ++){ 16 c1[j] = c2[j]; 17 c2[j] = 0; 18 } 19 } 20 } 21 int main(){ 22 init(); 23 while(scanf("%d", &n) != EOF){ 24 printf("%I64d\n", c1[n]); 25 } 26 }
再来，hdu 1398
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
题目说一个国家的硬币都是方形的，面值也是方形的
有1块钱，4块钱，9块钱，16块钱......一直到289块钱（17^2）
问想组成n块钱有几种方法
AC代码：
1 #include<cstdio> 2 typedef long long LL; 3 const int N = 300 + 5; 4 const int MAX = 17; 5 LL c1[N], c2[N]; 6 int n; 7 void init(){ 8 c1[0] = 1; 9 for(int i = 1; i <= MAX; i ++){ 10 for(int j = 0; j < N; j += i*i){ 11 for(int k = 0; j + k < N; k ++){ 12 c2[j + k] += c1[k]; 13 } 14 } 15 for(int j = 0; j < N; j ++){ 16 c1[j] = c2[j]; 17 c2[j] = 0; 18 } 19 } 20 } 21 int main(){ 22 init(); 23 while(scanf("%d", &n) != EOF && n){ 24 printf("%I64d\n", c1[n]); 25 } 26 }
都是改一些小地方，都是模板题(oﾟωﾟo)
最后一道
hdu 1085
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
AC代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 typedef long long LL; 4 const int N = 1000 * (1+2+5) + 5; 5 int cost[3] = {1, 2, 5}; 6 LL c1[N], c2[N]; 7 int num[3]; 8 int MAX; 9 int main(){ 10 while(~scanf("%d%d%d", &num[0], &num[1], &num[2])){ 11 if(num[0] == 0 && num[1] == 0 && num[2] == 0) break; 12 memset(c1, 0, sizeof(c1)); 13 memset(c2, 0, sizeof(c2)); 14 MAX = num[0] + num[1] * 2 + num[2] * 5;//计算最大值 15 c1[0] = 1; 16 for(int i = 0; i < 3; i ++){ 17 for(int j = 0; j <= num[i] * cost[i]; j += cost[i]){ 18 for(int k = 0; j + k <= MAX; k ++){ 19 c2[j + k] += c1[k]; 20 } 21 } 22 for(int j = 0; j < N; j ++){ 23 c1[j] = c2[j]; 24 c2[j] = 0; 25 } 26 } 27 for(int i = 1; i <= MAX + 1; i ++){ 28 if(!c1[i]){ 29 printf("%d\n", i); 30 break; 31 } 32 } 33 } 34 }
母函数在数学上真的用处很大，但是我没怎么看到在ACM上有什么太大的用处（可能我做的题还不够多 T_T）
比如刚刚上面的3个例题，都有更快的做法
第一题：动态规划，时间复杂度O(n^2)
1 #include<cstdio> 2 const int N = 120 + 5; 3 int dp[N]; 4 int n; 5 void init(){ 6 dp[0] = 1; 7 for(int i = 1; i < N; i ++){ 8 for(int j = i; j < N; j ++){ 9 dp[j] += dp[j - i]; 10 } 11 } 12 } 13 int main(){ 14 init(); 15 while(scanf("%d", &n) != EOF){ 16 printf("%d\n", dp[n]); 17 } 18 }
第二题：动态规划，时间复杂度O(n^2)
1 #include<cstdio> 2 const int N = 300 + 5; 3 int dp[N]; 4 int n; 5 void init(){ 6 dp[0] = 1; 7 for(int i = 1; i <= 17; i ++){ 8 for(int j = i*i; j < N; j ++){ 9 dp[j] += dp[j - i*i]; 10 } 11 } 12 } 13 int main(){ 14 init(); 15 while(scanf("%d", &n) != EOF && n){ 16 printf("%d\n", dp[n]); 17 } 18 }
第三题：≖‿≖✧特判就好了，时间复杂度O(1)
1 #include<cstdio> 2 int a, b, c; 3 int ans; 4 int main(){ 5 while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c) && (a || b || c)){ 6 if(a >= 4 || a >= 2 && b >= 1 || a >= 1 && b >= 2) ans = a + 2*b + 5*c + 1; 7 else if(a == 0) ans = 1; 8 else ans = a + 2*b + 1; 9 printf("%d\n", ans); 10 } 11 }
哈哈哈有没有被骗的感觉，有些题目，不要陷进算法里，这题O(1)的复杂度就可以了，如果你用三个for循环，那就太慢了，而且数量不同，还没有办法预处理，如果数据量大，肯定超时
所以，母函数我们只要理解原理就好了
那么ACM的母函数讲完了(*°∀°)
之后是数学上的母函数，不想看的人就可以结束本章内容了(*°∀°)
