【题解】DP选练（23.9.11 - 23.9.12）

一些写过题解的题我就直接挂连接了。

[NOIP2018 提高组] 货币系统

题目描述：

在网友的国度中共有 \(n\) 种不同面额的货币，第 \(i\) 种货币的面额为 \(a[i]\)，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 \(n\)、面额数组为 \(a[1..n]\) 的货币系统记作 \((n,a)\)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 \(x\) 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 \(x\)，都存在 \(n\) 个非负整数 \(t[i]\) 满足 \(a[i] \times t[i]\) 的和为 \(x\)。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 \(x\) 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 \(n=3\), \(a=[2,5,9]\) 中，金额 \(1,3\) 就无法被表示出来。

两个货币系统 \((n,a)\) 和 \((m,b)\) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 \(x\)，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 \((m,b)\)，满足 \((m,b)\) 与原来的货币系统 \((n,a)\) 等价，且 \(m\) 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 \(m\)。

【数据范围】

对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1 ≤ T ≤ 20, n,a[i] ≥ 1\)。

题目分析：

一个结论：\(b\) 必然为 \(a\) 除去其中的部分元素得到。
考虑如果 \(b\) 中拥有 \(a\) 没有的元素，如果这个元素可以被表示出来那么多出这个元素是没有意义的，如果这个元素不可以被表示出来那么这个元素会多表示出一些数。
所以我们只需要判断 \(a\) 中哪些元素会被内部的元素表示出，然后将这些元素删除即可，这个直接做一次背包就可以求得。

[CSP-S2020] 函数调用

题目描述：

函数是各种编程语言中一项重要的概念，借助函数，我们总可以将复杂的任务分解成一个个相对简单的子任务，直到细化为十分简单的基础操作，从而使代码的组织更加严密、更加有条理。然而，过多的函数调用也会导致额外的开销，影响程序的运行效率。

某数据库应用程序提供了若干函数用以维护数据。已知这些函数的功能可分为三类：

1. 将数据中的指定元素加上一个值；
2. 将数据中的每一个元素乘以一个相同值；
3. 依次执行若干次函数调用，保证不会出现递归（即不会直接或间接地调用本身）。

在使用该数据库应用时，用户可一次性输入要调用的函数序列（一个函数可能被调用多次），在依次执行完序列中的函数后，系统中的数据被加以更新。某一天，小 A 在应用该数据库程序处理数据时遇到了困难：由于频繁而低效的函数调用，系统在执行操作时进入了无响应的状态，他只好强制结束了数据库程序。为了计算出正确数据，小 A 查阅了软件的文档，了解到每个函数的具体功能信息，现在他想请你根据这些信息帮他计算出更新后的数据应该是多少。

【数据范围】

测试点编号	\(n, m, Q \le\)	\(\sum C_j\)	其他特殊限制
\(19 \sim 20\)	\(10^5\)	\(\le 10^6\)	无

对于所有数据：\(0 \le a_i \le 10^4\)，\(T_j \in \{1,2,3\}\)，\(1 \le P_j \le n\)，\(0 \le V_j \le 10^4\)，\(1 \le g^{(j)}_k \le m\)，\(1 \le f_i \le m\)。

题目分析：

一个想法就是倒序操作，因为注意到如果有以下四个操作：\(+2,\times 4,+3,\times 5\)
那么 \(+2\) 贡献了 \(4 \times 5\) 次，\(+3\) 贡献了 \(5\) 次，也就是加法操作的贡献次数等于其后面执行的乘法的乘积。
这样直接建图跑拓扑序，再拼点部分分就有了 \(75\) 分。
这种类型的题如果想要快速维护，一个显然的想法就是求出每一个操作的操作次数，这样就直接跑一遍拓扑序就可以得到答案。
但是这样显然不行，因为乘法操作会对加法操作产生影响，但是我们可以将这个影响化为等次数的操作，也就是后面的 \(\times x\) 操作，我们将其看作这个加法操作需要执行 \(x\) 次。
这样我们就可以得到加法的等效操作次数，这样直接跑一遍拓扑序然后将这个等效次数每次向下传递就好了。
现在的一个问题就是我们需要知道到底乘了多少，才能得到等效操作次数，这个东西可以直接维护 \(mul_i\) 表示跑完了 \(i\) 点开始的拓扑序之后，对乘法造成的贡献为 \(\times mul_i\)，建反图跑拓扑序这个东西就可以被维护出来。
注意我们要求倒叙操作。

[APIO2010] 特别行动队

题目描述：

你有一支由 \(n\) 名预备役士兵组成的部队，士兵从 \(1\) 到 \(n\) 编号，你要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号应该连续，即为形如 \((i, i + 1, \cdots i + k)\)的序列。所有的队员都应该属于且仅属于一支特别行动队。

编号为 \(i\) 的士兵的初始战斗力为 \(x_i\) ，一支特别行动队的初始战斗力 \(X\) 为队内士兵初始战斗力之和，即 \(X = x_i + x_{i+1} + \cdots + x_{i+k}\)。

通过长期的观察，你总结出对于一支初始战斗力为 \(X\) 的特别行动队，其修正战斗力 \(X'= aX^2+bX+c\)，其中 \(a,~b,~c\) 是已知的系数（\(a < 0\)）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队的修正战斗力之和最大。试求出这个最大和。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \leq n \leq 10^6\)，\(-5 \leq a \leq -1\)，\(-10^7 \leq b \leq 10^7\)，\(-10^7 \leq c \leq 10^7\)，\(1 \leq x_i \leq 100\)。

题目分析：

这个题显然需要用 \(dp\) 来做，可以设 \(dp_i\) 表示考虑了前 \(i\) 个士兵战斗力之和的最大值，转移就是枚举最后一段是什么，为了方便记 \(s_i = \sum_{j=1}^i a_j\)：

\[dp_i = \max\limits_{j=0}^{i-1}\{dp_j + a(s_i - s_j)^2 + b(s_i - s_j) + c\} \]

这个东西就给人一种可以斜率优化的感觉，所以拆拆式子看看是不是可以：

\[dp_i = dp_j + as_i^2 - 2as_is_j + as_j^2 + bs_i - bs_j + c \\ dp_j + as_j^2 - bs_j = dp_i - as_i^2 - bs_i - c + 2as_is_j \]

这个东西就可以化简为 \(y = kx + b\) 的形式，其中：

\[\begin{aligned} y &= dp_j + as_j^2 - bs_j \\ k &= 2as_i \\ x &= s_j \\ b &= dp_i - as_i^2-bs_i-c \end{aligned} \]

所以如果我们将所有的 \((x,y)\) 拿出来放到二维平面上，这个东西就相当于拿一条斜率为 \(k\) 的直线去切这些点，使得其 \(y\) 轴的截距最大。
使得截距最大的点一定是在上凸包上，所以可以直接维护上凸包，而我们在枚举的过程中斜率一定单调递增，所以可以直接单调队列维护一下凸包就可以了。

[NOI2015] 寿司晚宴

题目描述：

为了庆祝 NOI 的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小 G 和小 W 作为参加 NOI 的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。

在晚宴上，主办方为大家提供了 \(n−1\) 种不同的寿司，编号 \(1,2,3,\ldots,n-1\)，其中第 \(i\) 种寿司的美味度为 \(i+1\)。（即寿司的美味度为从 \(2\) 到 \(n\)）

现在小 G 和小 W 希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：小 G 品尝的寿司种类中存在一种美味度为 \(x\) 的寿司，小 W 品尝的寿司中存在一种美味度为 \(y\) 的寿司，而 \(x\) 与 \(y\) 不互质。

现在小 G 和小 W 希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数 \(p\) 取模）。注意一个人可以不吃任何寿司。

\(2 \le n\le 500,0 < p \le 10^9\)

题目分析：

互质就是 \(gcd(a,b) = 1\)，这个东西放到质因数分解的形势下就是没有公共的质因数。
这样的话当 \(n\) 比较小的时候就直接记录两个人分别选了哪些质因数就好了。
当 \(n\) 比较大的时候直接记录就炸了，但是我们知道一个数大于 \(\sqrt{n}\) 的质因子只会有最多一个，所以可以按照这个质因子分类讨论。
也就是将大于 \(\sqrt{n}\) 的质因子相同的数看作一组，这样一组只能被第一个人选择或者只能被第二个人选择，可以分别做 \(dp\) 记录小于 \(\sqrt{n}\) 的质因子的选择情况，然后最后合并在一起就好了。
较小的质因子我们只需要取到前 \(8\) 个质数，所以时间复杂度为 \(O(2^{16}n)\)

[NOIP2018 普及组] 摆渡车

题目描述：

有 \(n\) 名同学要乘坐摆渡车从人大附中前往人民大学，第 \(i\) 位同学在第 \(t_i\) 分钟去 等车。只有一辆摆渡车在工作，但摆渡车容量可以视为无限大。摆渡车从人大附中出发、 把车上的同学送到人民大学、再回到人大附中（去接其他同学），这样往返一趟总共花费 \(m\) 分钟（同学上下车时间忽略不计）。摆渡车要将所有同学都送到人民大学。

凯凯很好奇，如果他能任意安排摆渡车出发的时间，那么这些同学的等车时间之和最小为多少呢？

注意：摆渡车回到人大附中后可以即刻出发。

\(n ≤ 500, m ≤ 100, 0 ≤ t_i ≤ 4 \times 10^6\)。

题目分析：

首先一个显然的结论就是，一个人一定是选择到达时间最近的摆渡车被送走，所以考虑如果我们已经知道了摆渡车出发的时间 \(T_1,T_2,T_3,\cdots,T_k\)，要求 \(T_i - T_{i-1} \ge m\)，那么最小的等车时间是多少。
考虑如果 \(T_p \le t_i \le T_{p+1}\)，那么 \(i\) 的等车时间就是 \(T_{p+1} - t_i\)，所以总的等车时间就是很好算的就是将贡献拆开统计，设 \(s_i\) 表示到达时间在 \([1,i]\) 的同学个数，则：

\[\sum_{i=1}^{k} (s_{T_i} - s_{T_{i-1}})T_i - \sum_{i=1}^n t_i \]

需要注意的一点是这里默认 \(T_0 = 0\)。
因为后面的 \(t\) 之和固定，所以最优化答案的时候不用管，只需要管前面的部分，而前面的部分显然就是枚举摆渡车在什么时候出发，也就是设 \(dp_i\) 表示摆渡车最后一次出发时候为 \(i\) 的最小等车时间，转移就是枚举上一次出发的时间：

\[dp_i = \min \limits_{j=0}^{i-1}\{ dp_j + (s_i - s_j) \times i \} \]

这东西可以拆成斜率优化的形式，也就是：

\[dp_i = dp_j + s_i \times i - s_j \times i \\ dp_j = dp_i - s_i \times i + s_j \times i \]

可以令 \(y = dp_j\)，\(k = i\)，\(x = s_j\)，\(b = dp_i - s_i \times i\)
所以直接维护凸包然后就好了，因为斜率递增可以单调队列维护。

[NOI2009] 诗人小G

题目描述：

小 G 是一个出色的诗人，经常作诗自娱自乐。但是，他一直被一件事情所困扰，那就是诗的排版问题。

一首诗包含了若干个句子，对于一些连续的短句，可以将它们用空格隔开并放在一行中，注意一行中可以放的句子数目是没有限制的。小 G 给每首诗定义了一个行标准长度（行的长度为一行中符号的总个数），他希望排版后每行的长度都和行标准长度相差不远。显然排版时，不应改变原有的句子顺序，并且小 G 不允许把一个句子分在两行或者更多的行内。在满足上面两个条件的情况下，小 G 对于排版中的每行定义了一个不协调度, 为这行的实际长度与行标准长度差值绝对值的 \(P\) 次方，而一个排版的不协调度为所有行不协调度的总和。

小 G 最近又作了几首诗，现在请你对这首诗进行排版，使得排版后的诗尽量协调（即不协调度尽量小），并把排版的结果告诉他。

数据规模与约定

测试点	\(T\)	\(N\)	\(L\)	\(P\)
\(10\)	\(\le 5\)	\(\le 10^5\)	\(\le 3\times 10^6\)	\(\le10\)

所有句子的长度不超过 \(30\) 。

题目分析：

一个显然的想法就是 \(dp\) 解决这个问题，我们 \(dp\) 所做的决策显然是每一行放哪些句子，也就是可以显然想到设 \(dp_i\) 表示考虑了前 \(i\) 个句子最小的不协调度之和。
转移就是枚举最后这一行放了哪些句子，设 \(s_i\) 表示前 \(i\) 个句子的和：

\[dp_i = \min_{j=0}^{i-1} \{ dp_j + \left|(s_i-s_j)-(j-i-1)-L\right|^P \} \]

转移需要注意的一点就是有空格，需要减去空格。
通过一些显然的观察或者是打表可以发现这个 \(dp\) 满足决策单调性，所以直接上套路做法就可以了。

[Cnoi2020] 线形生物

题目描述：

线形生物要从 \(1\) 号台阶走到 \(n+1\) 号台阶。

最开始，\(1,2,3,\ldots,n\) 号台阶都有一条连向下一台阶的有向边 \(i\rightarrow i+1\)。

之后 Cirno 加入了 \(m\) 条返祖边 \(u_i \rightarrow v_i (u_i \ge v_i)\)，它们构成了一个返祖图。

线形生物每步会 等概率地 选取当前台阶的一条出边并走向对应的台阶。

当走到 \(n+1\) 号台阶时，线形生物就会停止行走。

同时，Cirno 会统计线性生物总共走的步数，记作 \(\delta\)。

Cirno 想知道 \(E(\delta)\)（即 \(\delta\) 的数学期望）对 \(998244353\) 取模后的结果。

对于 \(100\%\) 的数据，保证：\(id \in \{1,2,3,4,5\}\)，\(0 < n,m \le 10^6\)，\(1 \le v_i \le u_i \le n\)。

题目分析：

显然需要使用 \(dp\) 解决这个问题，这种问题的一种经典 \(dp\) 设法就是设 \(dp_i\) 表示从 \(i\) 号台阶到 \(i+1\) 号台阶的期望步数，为了方便设 \(s_{i,j} = \sum_{k=i}^j dp_k\)，给定的 \(m\) 条边构成边集 \(E\)，则转移就是：

\[dp_i = \frac{1}{|E|+1} + \sum_{(i,j) \in E} \frac{s_{j,i} + 1}{|E|+1} \]

转移就是枚举下一步走的是什么，这样的转移就会造成自环的情况，所以考虑把这种情况移项直接搞掉：

\[\begin{aligned} dp_i &= \frac{1}{|E|+1} + \sum_{(i,j) \in E} \frac{s_{j,i-1} + 1}{|E|+1} + \frac{|E| \times dp_i}{|E|+1} \\ \frac{1}{|E|+1}dp_i &= \frac{1}{|E|+1} + \sum_{(i,j) \in E} \frac{s_{j,i-1}}{|E|+1} \\ dp_i &= 1 + \sum_{(i,j) \in E} s_{j,i-1} \end{aligned} \]

因为我们转移是从小到大枚举 \(i\)，所以每次只需要维护以 \(i-1\) 为右端点的 \(s\) 的值，可以使用树状数组增量维护。
最后我们的答案显然就是 \(\sum \limits_{i=1}^n dp_i\)

[NOI2019] 回家路线

题目描述：

猫国的铁路系统中有 \(n\) 个站点，从 \(1 - n\) 编号。小猫准备从 \(1\) 号站点出发，乘坐列车回到猫窝所在的 \(n\) 号站点。它查询了能够乘坐的列车，这些列车共 \(m\) 班，从\(1 - m\)编号。小猫将在 \(0\) 时刻到达 \(1\) 号站点。对于 \(i\) 号列车，它将在时刻 \(p_i\) 从站点 \(x_i\) 出发，在时刻 \(q_i\) 直达站点 \(y_i\)，小猫只能在时刻 \(p_i\) 上 \(i\) 号列车，也只能在时刻 \(q_i\) 下 \(i\) 号列车。小猫可以通过多次换乘到达 \(n\) 号站点。一次换乘是指对于两班列车，假设分别为 \(u\)号与 \(v\) 号列车，若 \(y_u = x_v\) 并且 \(q_u \leq p_v\)，那么小猫可以乘坐完 \(u\) 号列车后在 \(y_u\) 号站点等待 \(p_v - q_u\) 个时刻，并在时刻 \(p_v\) 乘坐 \(v\) 号列车。

小猫只想回到猫窝并且减少途中的麻烦，对此它用烦躁值来衡量。

• 小猫在站点等待时将增加烦躁值，对于一次 \(t (t \geq 0)\) 个时刻的等待，烦躁值将增加 \(At^2 + Bt + C\)，其中 \(A, B,C\) 是给定的常数。注意：小猫登上第一班列车前，即从 \(0\) 时刻起停留在 \(1\) 号站点的那些时刻也算作一次等待。

• 若小猫最终在时刻 \(z\) 到达 \(n\) 号站点，则烦躁值将再增加 \(z\)。

形式化地说，若小猫共乘坐了 \(k\) 班列车，依次乘坐的列车编号可用序列 \(s_1, s_2, \cdots , s_k\)表示。该方案被称作一条可行的回家路线，当且仅当它满足下列两个条件：

1. \(x_{s1} = 1\) , \(y_{sk} = n\)

2. 对于所有 \(j (1 \leq j < k)\)，满足 \(y_{sj} = x_{s_{j+1}}\) 且 \(q_{sj}\leq p_{s_{j+1}}\)

对于该回家路线，小猫得到的烦躁值将为：

\[q_{s_k}+(A\times p_{s_1}^2+B\times p_{s_1}+C)+\sum_{j=1}^{k-1}(A(p_{s_{j+1}}-q_{s_j})^2+B(p_{s_{j+1}}-q_{s_j})+C) \]

小猫想让自己的烦躁值尽量小，请你帮它求出所有可行的回家路线中，能得到的最
小的烦躁值。题目保证至少存在一条可行的回家路线。

对于所有测试点：\(2\le n\le 10^5,1\le m\le 2\times 10^5,0 \le A \le 10 , 0 \le B, C \le 10^6,1 \le x_i, y_i \le n , x_i \neq y_i , 0 \le p_i < q_i \le 10^3\)。

题目分析：

至少感觉写出来 \(dp\) 之后就十分类似 [APIO2010] 特别行动队了。
显然我们可以考虑设 \(f_{i,j}\) 表示现在在 \(i\) 号车站，时间为 \(j\) 的最少烦恼值，转移就是枚举是由之前的车站移动过来还是由之前的车站转移过来。
只有 \(O(m)\) 种有用的状态，以及第一种转移最多 \(O(m)\) 次，所以可以把重心放在第二种转移上，也就是下面这种形式：

\[f_{i,j} = \min\{f_{i,k} + A(k-j)^2 + B(k-j) + C\} \]

这个东西就是一个斜率优化的形式，我就不推了。
但是注意到我们的转移顺序特别离谱，如果枚举 \(i\) 进行转移就会出大问题，所以考虑对时间从小到大扫描线，然后每一次将第二维为枚举时间的状态更新，这样顺序就合法了。
以及如果我们直接从 \(f_{i,k} \to f_{i,j}\) 因为可能 \(f_{i,k}\) 这个状态本身就是等待一段时间得来的，所以要分别记录等待了一段时间的 \(dp\) 值和没有等待时间也就是只由第一种转移得来的 \(dp\) 值。
还有一点细节就是即使我们没有等待任何时间，对烦恼值也有 \(C\) 的贡献。
斜率优化就是对于每一个 \(i\) 都维护一个凸包就好了，代码不是很难写。

[ZJOI2008] 骑士

题目描述：

Z 国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。

最近发生了一件可怕的事情，邪恶的 Y 国发动了一场针对 Z 国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的 Z 国又怎能抵挡的住 Y 国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。

骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。

战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。

为了描述战斗力，我们将骑士按照 \(1\) 至 \(n\) 编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

对于 \(100\%\) 的测试数据，满足 \(1\le n \le 10^6\)，每名骑士的战斗力都是不大于 \(10^6\) 的正整数。

题目分析：

我们其实就是要解决最大权独立集问题，一般图的话根本不能做。
但是注意我们这一张图是一个基环树，也就是我们可以使用处理环的一般方法断环为链，这样就变成了一棵树的问题，就可以随便做了。
断环为链其实就是直接钦定环上相邻的某两个点不能同时被选。
因为对于每一个环我们选择一对点即可，所以总时间复杂度 \(O(n)\)。

[NOIP2009 提高组] 最优贸易

题目描述：

\(C\) 国有 \(n\) 个大城市和 \(m\) 条道路，每条道路连接这 \(n\) 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 \(m\) 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 \(1\) 条。

\(C\) 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 \(C\) 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 \(C\) 国 \(n\) 个城市的标号从 \(1\sim n\)，阿龙决定从 \(1\) 号城市出发，并最终在 \(n\) 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 \(n\) 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 \(C\) 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 \(C\) 国有 \(5\) 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 \(1\sim n\) 号城市的水晶球价格分别为 \(4,3,5,6,1\)。

阿龙可以选择如下一条线路：\(1\to2\to3\to5\)，并在 \(2\) 号城市以 \(3\) 的价格买入水晶球，在 \(3\) 号城市以 \(5\) 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 \(2\)。

阿龙也可以选择如下一条线路：\(1\to4\to5\to4\to5\)，并在第 \(1\) 次到达 \(5\) 号城市时以 \(1\) 的价格买入水晶球，在第 \(2\) 次到达 \(4\) 号城市时以 \(6\) 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 \(5\)。

现在给出 \(n\) 个城市的水晶球价格，\(m\) 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n\leq 100000\)，\(1\leq m\leq 500000\)，\(1\leq x,y\leq n\)，\(1\leq z\leq 2\)，$1\leq $ 各城市的编号 \(\leq n\)。

水晶球价格 \(\leq 100\)。

题目分析：

一个显然的想法就是对图缩点，这样被缩到一起的点就可以相互到达，缩完点后的图就是一个 DAG。
要使得价值最大，我们显然就是要低买高卖，也就是可以考虑设 \(f_i\) 表示从 \(1\) 到 \(i\) 的路径中最低的水晶球价格是多少，然后考虑在 \(i\) 点卖掉，可以设 \(g_i\) 表示从 \(1\) 到 \(i\) 进行一次交易的最优贡献，然后每次更新 \(g\) 并向下传递即可。
最后的答案就是 \(g_n\)。

一些写过题解的题

可能以后会把题解直接搬过来吧，或者自己再写一份。
P6748 『MdOI R3』Fallen Lord
[CSP-S2019] Emiya 家今天的饭
[九省联考 2018] 一双木棋 chess
[八省联考 2018] 林克卡特树
不同子串个数
[六省联考 2017] 分手是祝愿