【题解】[HNOI2007]梦幻岛宝珠

题目分析：

对于这种某一个值很大另一个值很小的背包题，就是要求找特殊性质。
既然每一个 $w$ 都可以写成 $a \times 2^b$ 的性质，就可以对于每一个 $b$ 单独做背包，这样的复杂度并不高，这样就可以得到 $f_{i,j}$ 表示第 $i$ 位选择 $j$ 个的最大价值。
对于背包合并其实并不简单，我们可以考虑设 $g_{i,j}$ 表示考虑了前 $i$ 位，第 $i$ 位有 $j$ 个，且最终的重量的前 $i-1$ 位不超过 $W$ 的前 $i-1$ 位的最大价值。
其实这个状态也就相当于一个背包然后加上了一个重量的限制。
转移其实就是 $g_{i,j} = \max\{g_{i,k} + f_{i-1,2 \times (j-k) + dig(W,i-1)}\}$ 其中 $dig(W,i)$ 表示 $W$ 的第 $i$ 位是 $0$ 还是 $1$。

代码：

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int tot[35],w[35][104],v[35][105],f[35][1005],g[35][5005];
signed main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	int n,m;scanf("%lld%lld",&n,&m);
	while(n != -1 && m != -1){
		for(int i=1; i<=n; i++){
			int x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);
			int cnt = 31;
			while(x % (1<<cnt) != 0)	cnt--;
			++tot[cnt];
			v[cnt][tot[cnt]] = x / (1<<cnt);
			w[cnt][tot[cnt]] = y;
		}
		for(int i=0; i<=30; i++){
			for(int j=1; j<=tot[i]; j++){
				for(int k=tot[i]*10; k>=0; k--){
					if(k - v[i][j] >= 0)	
						f[i][k] = max(f[i][k],f[i][k-v[i][j]] + w[i][j]);
				}
			}
		}
		for(int i=0; i<=tot[0]*10; i++){
			g[0][i] = max(g[0][i-1],f[0][i]);
		}
		for(int i=1; i<=30; i++){
			for(int j=0; j<=n*10; j++){
				for(int k=0; k<=j; k++){
					g[i][j] = max(g[i][j],f[i][k] + g[i-1][2 * (j - k) + ((m >> (i-1)) & 1)]);
				}
			}
		}
		int res = 0;
		while(m > (1<<res))	++res;--res;
		printf("%lld\n",g[res][1]);
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		memset(tot,0,sizeof(tot));memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));
	}
	return 0;
}