【题解】[APIO2010] 信号覆盖

题目分析：

其实就是涉及四个点之间的位置关系，三个点形成圆判断是否包含另一个点。
考虑四个点之间形成的多边形只可能是凸四边形或者是凹四边形，如下图所示：

（上图为凸多边形）

（上图为凹多边形）

因为题目保证不存在四点共圆，也就是说对于任意一个四边形不存在对角之和为 \(180°\)，也就是一定存在一组对角其和大于 \(180°\)，而另一组小于 \(180°\)，所以必然有点满足在另外三点构成的圆上。
如上图凸多边形所示则 \(B\) 一定在 \(ADC\) 所构成的圆上，\(D\) 一定在 \(ABC\) 构成的圆上，因为对角之和大于 \(180°\) 就一定在圆内。
如上图凹多边形所示则 \(C\) 一定在 \(ABD\) 所构成的圆上，原因同理。
所以我们的就可以得到，设 \(x\) 为凸多边形的数量，\(y\) 为凹多边形的数量，答案即：

\[2\times x + y \]

对于计数而言，显然凹多边形容易计数，因为他有独特的凹角，只要求出凹角的数量就可以得到凹多边形的数量。但是个人习惯而言凸角比凹角好求一些，因为凸角就是小于 \(180°\) 的角。
所以可以考虑对于每一个点极角排序，然后枚举一定含有哪一条边，那么能与这一条边形成一个凸角的边必然在一个连续的区间内，就可以直接使用双指针维护。极角排序如下图所示：

（其实也就是按照逆时针顺序访问每一个点）
所以直接顺着推回去就可以得到答案了。

代码：

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 3005;
struct Point{
	int x,y;
}S,a[N],b[N];
int n;
Point operator - (Point a,Point b){return {a.x-b.x,a.y-b.y};}
Point operator + (Point a,Point b){return {a.x+b.x,a.y+b.y};}
int quad(Point a){return (a.x < 0) ^ (3 * (a.y < 0));}
bool cmp(Point a,Point b){
	if(quad(a) == quad(b))	return (a.x * b.y - a.y * b.x) > 0;
	return quad(a) < quad(b);
}
bool check(Point a,Point b){   //判断 a -> b 夹角是否小于 180° 
	return a.x * b.y - a.y * b.x > 0;
}
int binom(int n,int m){
	if(n < 0 || m < 0 || n < m)	return 0;
	int ans = 1;
	for(int i=n-m+1; i<=n; i++)	ans = ans * i;
	for(int i=1; i<=m; i++)	ans = ans / i;
	return ans;
}
int get(Point S){
	int tot = 0,ans = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		if(a[i].x == S.x && a[i].y == S.y)	continue;
		b[++tot] = a[i] - S;
	}
	sort(b+1,b+tot+1,cmp);
	for(int i=1; i<=tot; i++)	b[i+tot] = b[i];   //记得开二倍啊啊啊啊啊啊啊 
	int now = 2;
	for(int i=1; i<=tot; i++){
		if(now == i)	now = i + 1;
		while(check(b[i],b[now]))	now++;
		ans += binom(now - i - 1,2);
	}
	return ans;
}
signed main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++)	scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);
	int ans1 = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		S = a[i];
		ans1 += get(S);  //求凸角的个数 
	}
	int ans2 = 4 * binom(n,4) - ans1; //求凹角/凹多边形个数
	int ans3 = binom(n,4) - ans2;//求凸多边形的个数 
	int ans = ans2 + ans3 * 2;//求答案 
	printf("%.3f\n",1.0 * ans / binom(n,3) + 3);//别忘了选择的三个点也叫在圆上 
	return 0;
}