【学习笔记】组合恒等式

主要是可能比较杂碎，所以就单独列在这里了。
（1）

\[\binom{n}{m} = \binom{n}{n-m} \]

可以通过组合数的定义证明，虽然简单但是很常用。

（2）

\[\binom{n}{m} = \binom{n-1}{m} + \binom{n-1}{m-1} \]

可以理解为枚举最后这一个选或者不选

（3）

\[\sum_{j=0}^i \binom{i}{j} = 2^i \]

这个在组合意义上其实是比较显然的，就是说 \(2^i\) 肯定是包含每一种选择的情况，而前面的式子也显然也是的

（4）范德蒙德卷积

\[\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} \times \binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k} \]

其实就是枚举在 \(n\) 个和 \(m\) 个里分别选择多少个

（5）

\[\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = 0 \]

可以通过二项式定理证明

（6）

\[\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} = n2^{n-1} \]

（7）

\[\sum_{k=0}^n k^2 \binom{n}{k} = n(n+1)2^{n-2} \]

（8）

\[\sum_{i=0}^n \binom{i}{k} = \binom{n+1}{k+1} \]

（9）二项式定理

\[(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \]

组合意义的话，就是我们每一次乘可以理解为乘 \(x\) 或者乘 \(y\)，那么乘 \(k\) 次 \(x\) 的方案数就是系数也就是 \(\binom{n}{k}\)，那么剩下的显然就是乘 \(y\) 了