【学习笔记】博弈论 --- Nim 博弈
博弈论基础
几个基本的知识
有限博弈
- 先手必胜当且仅当先手将当前状态变为先手必败态
- 先手必败当且仅当先手不能将当前状态变为先手必败态
有向无环图博弈
- 给定一个 ,初始 号点有一个棋子,小 和小 可以将棋子沿出边移动一次,最后无法移动的为输者。
SG 函数
- 基本描述:
-
对于有向无环图博弈,, 即未出现过的最小非负整数。则先手必胜则意味着 ,也就是 意味着先手必败态。
-
证明: 我们将分以下三个部分证明, 时先手必胜:
- 最终态是必败态:
- 显然最终态就是无法移动,也就是 ,也就是必败态。
- 必胜态可以走向必败态:
- 若 ,意味着我们可以走向 的点,也就是可以走向必败态
- 必败态只能走向必胜态:
- 当 时,显然不能走到 的点,所以只能走向必胜态
- 最终态是必败态:
-
子游戏
- 问题描述:
-
给定 个 ,小 和小 每次可以选择一个 ,并将其上的棋子沿出边移动一次,移动不了为输。
-
SG定理: 先手必胜当且仅当每个 的起点的 的异或值不等于
-
证明: 依旧分以下三个部分证明:
- 最终态是必败态:
- 最终态就是无法移动,所有的 都等于 ,显然是必败态
- 必胜态可以走向必败态:
- 若 ,显然我们可以通过某个 上走一步,使得 ,也就是可以走向必胜态。因为我们最终的答案里面的每一个 ,肯定都可以通过在某一个 上走一步,使得答案除去当前起点的值导致最高位消掉,我们再走到含有剩下的 的点,这样加入贡献之后这些 也消掉了。
- 必败态只能走向必胜态:
- 显然无法移动一步,使得移动后的 的异或和等于现在的异或和,也就是一定走向必胜态。
- 最终态是必败态:
-
Nim 游戏
Nim 游戏
-
题目描述:
- 有 堆石子,第 堆石子有 个, 和 每次可以从任意一堆中取出至少一个,不能取的人为输,请问谁有必胜策略。
-
题目分析:
-
显然每一堆石子都是一个子游戏,我们可以以石子数为上的点,那么对于起点 它的 显然等于 ,因为我们可以将图理解为如下样子:
-
-
显然从底向上 值依次为:。注意最底端的节点代表 个石子。
-
例题
-
题目描述:
- 给定 行,第 行的长度为 ,每行最左边有一颗白子,最右边有一颗黑子, 可以移动白子, 可以移动黑子,不能跨过对方的棋子,不能移动为输。
-
题目分析:
- 我们棋子向边上走肯定不优,因为根据模仿的思想,假设白子向左移 ,那么黑子也可以向左移 ,这样显然使得白子的局势不会更优。那么我们就考虑向中间走 ,就理解为拿一颗石子,那么对于第 行就是相当于有 个石子,也就是成为了我们的 Nim 游戏。
K-Nim 游戏
- 题目描述:
-
有 堆石子,第 堆石子有 个, 和 轮流进行操作,每次操作最多可以选择 堆石子每堆石子拿至少一个,不能取的人为输,问谁有必胜策略。
-
定理: 将 按二进制拆分,若每个二进制位上为 的个数对 取模等于 ,则先手必败
-
证明:
- 最终态是必败态:显然最终态为必败态,因为已经全部取完了
- 必胜态可以走向必败态:
- 假设我们已经改变了 堆,使得第 位之前的位都是 倍数,那么就要找到一种方式使得第 位也是 的整数倍。显然对于考虑完的 堆,我们可以任意的选择其第 位是 或 ,那么我们记不考虑这 堆,剩下的堆里第 位 的个数为 。
- 若 ,显然可以将这 个 都变成 ,然后将 堆的 也都变成 。这样就相当于第 位的总数为 ,符合条件。
- 若 ,我们在这 堆里,选出 堆变成 ,这样两者一加就是 个 ,符合条件。化简一下就能得到
- 假设我们已经改变了 堆,使得第 位之前的位都是 倍数,那么就要找到一种方式使得第 位也是 的整数倍。显然对于考虑完的 堆,我们可以任意的选择其第 位是 或 ,那么我们记不考虑这 堆,剩下的堆里第 位 的个数为 。
- 必败态只能走向必胜态:
- 我们每次最多将某一个二进制位上的 改变 个,最少将某一个二进制位上的 改变 ,因为我们最少改变一堆最多改变 堆。因为我们原来的每一个二进制位都是 的倍数,所以我们更改之后一定不都是,即一定是必胜态。
-
例题
-
题目来源:
- [SDOI2011]黑白棋
-
题目分析:
这个题其实最麻烦的是证明 K-Nim 游戏,不过我证了
我们考虑如果初始状态给定,那么这就是一个 K-Nim 游戏,我们依旧将距离视为石子也就能发现了。然后根据 K-Nim 游戏的过程,我们可以想出一个显然巨难的状态: 表示前 位取模后全部是 ,当前放了 个棋子的方案数,也就是先手必输的方案数。- 那么转移就是我们枚举第 位是 的多少倍,然后也就是从这 个堆里,选 个,也就是乘一个组合数 ,然后我们最后还要搞一下这些堆在哪里,也就是乘
反 Nim 游戏
- 题目描述:
- 有 堆石子,第 堆石子的个数为 , 和 轮流从一堆中选择至少一个石子,取到最后一个的人为输,问谁有必胜策略。
- 题目分析:
-
Anti-SG定理: 假设当所有子游戏的 均为 时游戏结束,那么满足如下条件之一先手必胜:
- 所有子游戏的 的异或和不为 ,且某个游戏的 值大于
- 所有子游戏的 的异或和为 ,且所有游戏的 值都小于等于 1
-
证明:
- 我们定义如下的四个状态:
- : 的异或和等于 ,且存在某个游戏的 大于 (先手必败)
- : 的异或和等于 ,且任意游戏的 小于等于 (先手必胜)
- : 的异或和不等于 ,且存在某个游戏的 大于 (先手必胜)
- : 的异或和不等于 ,且任意游戏的 小于等于 (先手必败)
- 最终态是必胜态:
- 因为最终态就是所有的子游戏 值都为 ,显然此时先手必胜
- 必胜态可以走向必败态:
- 若满足状态
- 若只有一个游戏的 大于 ,那么显然可以将这个游戏的 值变成 或 ,而我们 的异或和不为 ,所以就走到了状态 ,必败态。
- 若有多个游戏的 大于 ,则可以使用类似 定理的推导过程,将 的异或和变为 ,且存在某个游戏的 大于 ,即走到了状态 ,必败态
- 若满足状态
- 若到达终止条件,即全是 ,则直接胜利并终止游戏
- 若某个游戏的 值为 ,则将这个值变为 ,那么就到达了状态 ,必败态
- 若满足状态
- 必败态必须走向必胜态
- 若满足状态
- 若多个游戏的 值大于 ,显然只能转化为状态 ,必胜态。因为此时 的异或值不可能为 ,而且也存在某个游戏的 值大于
- 若只有一个游戏的 值大于 ,显然这种条件下不可能导致 的异或值不等于
- 若满足状态
- 若将某一个 值为 的游戏的 值改为 ,显然对于 的异或和是取反的,因为原来异或的值只有 或 ,异或之后依旧是 或 ,这样就会到达状态 ,必胜态。
- 若将一个 值为 的游戏的 值改为 ,显然也是取反,会到达状态 ,必胜态.
- 若将一个 值为 的游戏的 值改为大于 的值,显然会到达状态 ,必胜态。因为此时显然 异或和不会等于 ,而有的游戏的 值大于 。
- 若满足状态
- 我们定义如下的四个状态:
-
阶梯博弈
- 题目描述:
- 有 个阶梯呈编号升序排列,每个阶梯上有若干个石子,可行的操作是将一个阶梯上的石子移至少一个到前一个台阶。当没有可行操作时,即所有石子都被移动到了地面(第 号台阶)输。
- 题目分析:
-
定理: 阶梯博弈相当于奇数号台阶的 Nim 游戏,即当奇数号台阶上的石子数的异或和不为 时,先手必胜。
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证明:
- 最终态是必败态:
- 显然最终态是所有的石子数为 ,仅考虑奇数也是必败态
- 必胜态可以走到必败态:
- 我们一定可以把某一些石子放到偶数堆上,也就是能使得奇数堆的异或和为 ,即走到必败态
- 必败态必定走到必胜态:
- 显然我们无法通过调整石子数使得异或和保持 不变,所以必败态必定会走到必胜态。
- 最终态是必败态:
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例题
- 题目描述
- 给定 堆石子,第 堆石子的个数为 个,保证初始石子数单调不降, 和 轮流操作,每次可以从某一堆石子中移走至少一个,需要满足在任意时刻石子数均单调不降,不能取的人输。
- 题目分析
- 对石子数差分,然后倒序编号,也就相当于阶梯博弈的模型。
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