【学习笔记】博弈论 --- Nim 博弈

博弈论基础

几个基本的知识

有限博弈

  • 先手必胜当且仅当先手将当前状态变为先手必败态
  • 先手必败当且仅当先手不能将当前状态变为先手必败态

有向无环图博弈

  • 给定一个 DAG,初始 1 号点有一个棋子,小 A 和小 B 可以将棋子沿出边移动一次,最后无法移动的为输者。

SG 函数

  • 基本描述:
    • 对于有向无环图博弈,SG(i)=mex(SG(j)|edge(i,j)E)mex 即未出现过的最小非负整数。则先手必胜则意味着 SG(1)0,也就是 SG(1)=0 意味着先手必败态。

    • 证明: 我们将分以下三个部分证明,SG(1)0 时先手必胜:

      • 最终态是必败态:
        • 显然最终态就是无法移动,也就是 SG=0,也就是必败态。
      • 必胜态可以走向必败态:
        • SG(1)0,意味着我们可以走向 SG=0 的点,也就是可以走向必败态
      • 必败态只能走向必胜态:
        • SG(1)=0 时,显然不能走到 SG=0 的点,所以只能走向必胜态

子游戏

  • 问题描述:
    • 给定 mDAG,小 A 和小 B 每次可以选择一个 DAG,并将其上的棋子沿出边移动一次,移动不了为输。

    • SG定理: 先手必胜当且仅当每个 DAG 的起点的 SG 的异或值不等于 0

    • 证明: 依旧分以下三个部分证明:

      • 最终态是必败态:
        • 最终态就是无法移动,所有的 SG 都等于 0,显然是必败态
      • 必胜态可以走向必败态:
        • i=1mSG(i)=a0,显然我们可以通过某个 DAG 上走一步,使得 i=1mSG(i)=0,也就是可以走向必胜态。因为我们最终的答案里面的每一个 1,肯定都可以通过在某一个 DAG 上走一步,使得答案除去当前起点的值导致最高位消掉,我们再走到含有剩下的 1 的点,这样加入贡献之后这些 1 也消掉了。
      • 必败态只能走向必胜态:
        • 显然无法移动一步,使得移动后的 SG 的异或和等于现在的异或和,也就是一定走向必胜态。

Nim 游戏

Nim 游戏

  • 题目描述:

    • n 堆石子,第 i 堆石子有 ai 个,AB 每次可以从任意一堆中取出至少一个,不能取的人为输,请问谁有必胜策略。
  • 题目分析:

    • 显然每一堆石子都是一个子游戏,我们可以以石子数为DAG上的点,那么对于起点 i 它的 SG 显然等于 ai,因为我们可以将图理解为如下样子:

    • 显然从底向上 SG 值依次为:0,1,2,3。注意最底端的节点代表 0 个石子。

例题

  • 题目描述:

    • 给定 n 行,第 i 行的长度为 ai,每行最左边有一颗白子,最右边有一颗黑子, A 可以移动白子,B 可以移动黑子,不能跨过对方的棋子,不能移动为输。
  • 题目分析:

    • 我们棋子向边上走肯定不优,因为根据模仿的思想,假设白子向左移 x,那么黑子也可以向左移 x,这样显然使得白子的局势不会更优。那么我们就考虑向中间走 1,就理解为拿一颗石子,那么对于第 i 行就是相当于有 ai2 个石子,也就是成为了我们的 Nim 游戏。

K-Nim 游戏

  • 题目描述:
    • n 堆石子,第 i 堆石子有 ai 个,AB 轮流进行操作,每次操作最多可以选择 K 堆石子每堆石子拿至少一个,不能取的人为输,问谁有必胜策略。

    • 定理:ai 按二进制拆分,若每个二进制位上为 1 的个数对 K+1 取模等于 0,则先手必败

    • 证明:

      • 最终态是必败态:显然最终态为必败态,因为已经全部取完了
      • 必胜态可以走向必败态:
        • 假设我们已经改变了 m 堆,使得第 i 位之前的位都是 K+1 倍数,那么就要找到一种方式使得第 i 位也是 K+1 的整数倍。显然对于考虑完的 m 堆,我们可以任意的选择其第 i 位是 01,那么我们记不考虑这 m 堆,剩下的堆里第 i1 的个数为 sum
          • sumKm,显然可以将这 sum1 都变成 0,然后将 m 堆的 1 也都变成 0。这样就相当于第 i 位的总数为 0,符合条件。
          • sum>Km,我们在这 m 堆里,选出 K+1sum 堆变成 1,这样两者一加就是 K+11,符合条件。化简一下就能得到 K+1summ
      • 必败态只能走向必胜态:
        • 我们每次最多将某一个二进制位上的 1 改变 K 个,最少将某一个二进制位上的 1 改变 1,因为我们最少改变一堆最多改变 K 堆。因为我们原来的每一个二进制位都是 K+1 的倍数,所以我们更改之后一定不都是,即一定是必胜态。

例题

  • 题目来源:

    • [SDOI2011]黑白棋
  • 题目分析:

    • 这个题其实最麻烦的是证明 K-Nim 游戏,不过我证了
      我们考虑如果初始状态给定,那么这就是一个 K-Nim 游戏,我们依旧将距离视为石子也就能发现了。然后根据 K-Nim 游戏的过程,我们可以想出一个显然巨难的状态:dp[i][j] 表示前 i1 位取模后全部是 0,当前放了 j 个棋子的方案数,也就是先手必输的方案数。
    • 那么转移就是我们枚举第 i 位是 d+1 的多少倍,然后也就是从这 k2 个堆里,选 x(d+1) 个,也就是乘一个组合数 (k2x(d+1)),然后我们最后还要搞一下这些堆在哪里,也就是乘 (nik2k2)

反 Nim 游戏

  • 题目描述:
    • n 堆石子,第 i 堆石子的个数为 aiAB 轮流从一堆中选择至少一个石子,取到最后一个的人为输,问谁有必胜策略。
  • 题目分析:
    • Anti-SG定理: 假设当所有子游戏的 SG 均为 0 时游戏结束,那么满足如下条件之一先手必胜:

      • 所有子游戏的 SG 的异或和不为 0,且某个游戏的 SG 值大于 1
      • 所有子游戏的 SG 的异或和为 0,且所有游戏的 SG 值都小于等于 1
    • 证明:

      • 我们定义如下的四个状态:
        • ASG 的异或和等于 0,且存在某个游戏的 SG 大于 1(先手必败)
        • BSG 的异或和等于 0,且任意游戏的 SG 小于等于 1(先手必胜)
        • CSG 的异或和不等于 0,且存在某个游戏的 SG 大于 1(先手必胜)
        • DSG 的异或和不等于 0,且任意游戏的 SG 小于等于 1(先手必败)
      • 最终态是必胜态:
        • 因为最终态就是所有的子游戏 SG 值都为 0,显然此时先手必胜
      • 必胜态可以走向必败态:
        • 若满足状态 C
          • 若只有一个游戏的 SG 大于 1,那么显然可以将这个游戏的 SG 值变成 01,而我们 SG 的异或和不为 0,所以就走到了状态 D,必败态。
          • 若有多个游戏的 SG 大于 1,则可以使用类似 SG 定理的推导过程,将 SG 的异或和变为 0,且存在某个游戏的 SG 大于 1,即走到了状态 A,必败态
        • 若满足状态 B
          • 若到达终止条件,即全是 0,则直接胜利并终止游戏
          • 若某个游戏的 SG 值为 1,则将这个值变为 0,那么就到达了状态 D,必败态
      • 必败态必须走向必胜态
        • 若满足状态 A
          • 若多个游戏的 SG 值大于 1,显然只能转化为状态 C,必胜态。因为此时 SG 的异或值不可能为 0,而且也存在某个游戏的 SG 值大于 1
          • 若只有一个游戏的 SG 值大于 1,显然这种条件下不可能导致 SG 的异或值不等于 0
        • 若满足状态 D
          • 若将某一个 SG 值为 1 的游戏的 SG 值改为 0,显然对于 SG 的异或和是取反的,因为原来异或的值只有 10,异或之后依旧是 10,这样就会到达状态 B,必胜态。
          • 若将一个 SG 值为 0 的游戏的 SG 值改为 1,显然也是取反,会到达状态 B,必胜态.
          • 若将一个 SG 值为 0 的游戏的 SG 值改为大于 1 的值,显然会到达状态 C,必胜态。因为此时显然 SG 异或和不会等于 0,而有的游戏的 SG 值大于 1

阶梯博弈

  • 题目描述:
    • n 个阶梯呈编号升序排列,每个阶梯上有若干个石子,可行的操作是将一个阶梯上的石子移至少一个到前一个台阶。当没有可行操作时,即所有石子都被移动到了地面(第 0 号台阶)输。
  • 题目分析:
    • 定理: 阶梯博弈相当于奇数号台阶的 Nim 游戏,即当奇数号台阶上的石子数的异或和不为 0 时,先手必胜。

    • 证明:

      • 最终态是必败态:
        • 显然最终态是所有的石子数为 0,仅考虑奇数也是必败态
      • 必胜态可以走到必败态:
        • 我们一定可以把某一些石子放到偶数堆上,也就是能使得奇数堆的异或和为 0,即走到必败态
      • 必败态必定走到必胜态:
        • 显然我们无法通过调整石子数使得异或和保持 0 不变,所以必败态必定会走到必胜态。

例题

  • 题目描述
    • 给定 n 堆石子,第 i 堆石子的个数为 ai 个,保证初始石子数单调不降,AB 轮流操作,每次可以从某一堆石子中移走至少一个,需要满足在任意时刻石子数均单调不降,不能取的人输。
  • 题目分析
    • 对石子数差分,然后倒序编号,也就相当于阶梯博弈的模型。
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