【学习笔记】基(奇)本(技)套(淫)路(巧)
本篇是关于我做题时遇到的很神奇的技巧和思路的总结，会不定时更新。
以后就记录一些小 trick 以及一些知识点的小套路
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对于乘除法我们可以直接取对数转化为加减法
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对于 \(\lceil \dfrac{a}{b} \rceil\) 可以转化为 \(\lfloor \dfrac{a + (b-1)}{b} \rfloor\) 来快速求解
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对于两个点 \(x,y\)，若 \(lca(x,y)\) 为 \(x\)，则意味着 \(x\) 在 \(y\) 到根的路径上。
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区间内有无重复元素：记录上一次出现的位置，然后转化为区间取 \(\min\)
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将 DP 的转移分为几块，每一块分开处理分开考虑
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区间问题转化为差分或前缀和后考虑
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对于存在查询很优以及修改很优的做法，就可以考虑使用分块平衡复杂度
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边权转点权：每条边额外建一个点，连接这条边的两个端点
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枚举每一个数的约数可以逆向转化为枚举每一个数的倍数，就可以让复杂度 \(O(n\sqrt{n}) \to O(n \log n)\)
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预处理前后缀信息，通过前后缀信息合并得到答案
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与子树相对深度相关的有关的题，将贡献改为与子树绝对深度相关的信息
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与某个极大数的组合数相关的题，考虑卢卡斯定理
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SAM 中两个前缀的 LCS 是它们在 parent 树上的 lca 的最长串
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后缀的 LCP 可以建反串转化为前缀的 LCS
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广义 SAM 中一般可以考虑使用线段树合并维护当前点属于的模板串的集合，也可以用来维护 endpos 集合
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\(\lfloor \frac{j-i}{k} \rfloor = \lfloor \frac{j}{k} \rfloor - \lfloor \frac{i}{k} \rfloor - [(j \% k) < (i \% k)]\)
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树形背包的优化做法的复杂度是 \(O(nm)\)，其中 \(n\) 是节点数，\(m\) 是背包大小
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自动机要考虑对模式串建或者询问串建，都考虑一下
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链加+单点查询 -> 单点加+子树查询：好写而且复杂度低
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对于某些操作或者什么的，可以考虑想想终止状态是什么
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期望次数可以理解为 \(\frac{1}{\text{概率}}\)
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路径最大值/最小值：Kruskal 重构树；路径最大值最小/最小值最大：最小生成树、二分答案
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字符串匹配使用 bitset 维护文本串每一个字符出现的位置，然后模式串求一个并集就好了
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计数问题想不出来就考虑容斥一下，容斥原理或者统计不合法的方案数
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没啥想法就随便枚举几个值试试
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带环 DP：高斯消元、二分一个值
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对于两个不同的数，二进制分组之后一定至少有一次它们在不同组中
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设 \(p[i]\) 表示为 \(i\) 的概率，\(P[i]\) 表示大于等于 \(i\) 的概率，那么期望可以理解为：\(\sum_{i=1}^n i \times p[i] = \sum_{i=1}^n P[i]\)
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\(\sum_{j=0}^i \binom{i}{j} = 2^i\)
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平衡树的翻转标记：只要下面有用到他的儿子就下传
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树上两条路径如果有公共点，则交集必然满足点数等于边数加一
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非必要情况，否则使用树剖求 \(lca\)
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根据条件去求满足条件的点，或者枚举点判断是否符合条件
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Kruskal 重构树的节点个数为 \(2\times n - 1\)，千万别直接把 \(n\) 拿上去了。
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在图论中看到只经过小于等于或者大于等于某个值的条件时，想到 Kruskal 重构树，转化为子树询问
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期望 \(dp\) 一般可以考虑设到最终状态的期望，也可以是走一步的期望
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对于选 \(k\) 个元素最优的题，那么对于任意一种最优方案，对于任意一个区间 \([l,r]\) 若区间内选了 \(p\) 个，那么这 \(p\) 个一定是区间 \([l,r]\) 选择 \(p\) 个的最优方案之一。
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set里count的复杂度是假的，不如直接用map -
1 int = 4b
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调题的时候不要着急，要分析问题性质而不是对着错误的数据在那里打补丁。
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某类数数题考虑最终的状态满足什么条件时合法，然后统计这些条件就变简单了。
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树上 \(m\) 个点的 \(LCA\) 等于 \(dfs\) 最小的点和最大的点的 \(LCA\)。
考试犯的傻逼错误：
xxxx;xxxx;却没打大括号- 交错源代码
- 平衡树新建节点一定要把所有的信息都赋初值，不能感觉可以不赋就不赋
- 注意题目中是说：经过边的数量还是经过点的数量
- 字符串题注意串的字符串的首地址需要不需要加一
- 不要轻易否定自己的解法，如果感觉不对就构造一组，跑一遍 hack 掉就好了
- 网络流里不能随便建双向边，很多题在实际的建模里需要从 S -> T （大致方向）建边。
- 建文件夹一定只包含数字和字母
- 可以手模的样例一定要手模
- 多测一定要清空，是将本次更改的全部改回去，而不是将下次可能用到的改回去，非必要情况，请使用 \(memset\) 清空
- 一定不要读形式化题面，只给了一坨抽象的式子完全不如慢慢读文字题面
- 数组中长度小的维度放在前面，可能可以让速度快很多倍
- 一定要认真读数据范围，特别关注看上去就很不正常的地方
- 预处理阶乘的逆元一定要记得处理 \(0\) 的啊。
- 平衡树不要和线段树混了，记得 \(now\) 也是一个独立的点啊
- 无法调试或者灵异事件不要着急：观察一下基本的配置、观察一下文件（夹）名
- 传参数不要直接传一个 \(vector\)
- multiset 删除一定要反复检查是不是直接 erase(x)
- 状压或枚举状态的时候一定要注意从 \(0\) 开始还是从 \(1\) 开始，就是需不需要减一
- 写复杂的数据结构一定要从内层到外层慢慢来，千万不要从外层到内层去写
- 一些主函数比较难写的数据结构，就先把数据结构用暴力实现，直到主函数改对再去写数据结构
- 多测清空的时候注意：是不是之前的一些特判直接跳过了清空环节
