【题解】CF1700 C.Helping the Nature

C.Helping the Nature

题目描述

给定一个 \(n\) 个数的序列 \(a\)，你可以选择进行下面三种操作：

1. 任选一个 \(i\)，使 \(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_{i}\) 减一
2. 任选一个 \(i\)，使 \(a_i,a_{i+1},\cdots,a_n\) 减一
3. 使 \(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{n}\) 加一

请问经过最少多少次操作后可以使得序列 \(a\) 中的每个数都变成 \(0\).

题目分析

我们考虑我们是怎么使得整个序列的数都变成 \(0\)，很明显只有是将序列中的所有数都变成同一个数，然后同时加或减某一个数之后才能做到。或者将序列的中间变成 \(0\)，将序列的左右部分分别变成同一个数，但是这样跟原问题有啥区别吗，还变得更加复杂了，所以就果断弃掉这个思路。考虑如何操作使得区间中的所有数都变成同一个数。
我们考虑如果对原序列做差分，那么我们最终的答案就是差分序列所有的值为 \(0\) 时，序列中的所有的数是同一个数。
我们会发现一个很神奇的事情：我们对于一个前缀/后缀整体减一，只会对一个位置的差分值产生影响，加一或减一，那么就利用这个性质一点一点将差分数组变成 \(0\) 就可以了。
注意：这只是将整个序列都变成同一个数，还需要将所有的数都变成 \(0\)，这一步不能忘记了。

代码详解

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long MAXN = 2e5+5;
long long a[MAXN];
int main(){
	long long t;
	cin>>t; 
	while(t--){
		long long n,ans = 0;
		cin>>n;
		for(long long i=1; i<=n; i++){
			cin>>a[i];
		}
		long long h = a[1];
		for(long long i=2; i<=n; i++){
			long long b = a[i-1] - a[i]; 
			ans += abs(b);
			if(b > 0)
				h -= b;
		}
		ans += abs(h);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

对于一个差分后的值 \(x\)，因为每一次操作都只能加一或减一，所以也就是 \(|x|\) 次操作后能变成 \(0\)。我的代码里维护的 \(h\) 值即差分序列全部变成 \(0\) 之后，原序列中的这个数是多少。