【学习笔记】后缀自动机（SAM）

后缀自动机

可怜的我，学了两三遍才终于有点感觉了，也是因为这东西是真的复杂。

基本定义

后缀自动机（SAM）是用来解决字符串问题的一种数据结构，可以理解为字符串的压缩形式，是一个有向无环图。其中从源点出发到达每一个点的路径都是原串的一个子串，且原串的每一个子串都一定可以表示为一条路径。

endpos

定义

在字符串 $s$ 中，我们记 $endpos(t)$ 为字符串 $t$ 在 $s$ 中所有的结束位置。例如在字符串 "$abcbc$" 中 $endpos("bc") = {3,5}$ 。

我们就将 $endpos$ 值相同的字符串称作一个等价类，即在同一个等价类中必定存在 $endpos(t_1) = endpos(t_2)$，其中 $t_1,t_2$ 为两个字符串

SAM 中的每个节点对应一个等价类，即 SAM 节点的数量为等价类的数量加一，因为存在一个初始状态。

性质

性质一：若存在 $endpos(t_1) = endpos(t_2)$，且满足 $|t_1| \le |t_2|$ ，即在字符串 $s$ 中， $t_1$ 都是以 $t_2$ 的后缀的形式出现。

性质二：对于每一个 $endpos$ 等价类，等价类中的子串长度一定恰好完全覆盖 $[l,r]$，$l$ 为最短子串长度， $r$ 为最长子串长度。且任取两个子串，较短者一定是较长者的后缀。

后缀链接(link)

定义

对于一个状态 $t$，我们记 $w$ 为其的最长子串，那么一个后缀链接就是由 $t$ 连向 $w$ 的所有后缀中与 $w$ 的 $endpos$ 值不同且最长的子串的状态。（好绕啊）

性质

性质一： 所有后缀链接构成一棵以源点为根的树

边也就是后缀链接，把所有的边反向也就是一颗以源点为根的树
（转自 OI_Wiki）

构造

SAM 的构造看上去很简单，但实际上非常难以理解。

（转自 OI_Wiki）

下面就是详细地解释一下这个东西。

SAM 的构造是在线的，也就是说我们是在原有的字符串末尾一点点插入字符然后构造的。

第一个点：没有什么好说的

第二个点：$len(t)$ 即 $t$ 这个节点代表的状态下的最长子串的长度，新加入的这个状态代表的最长子串也就是整个字符串，长度也就是没有这个点的时候的字符串长度加一

第三个点：其实也没啥说的，就是找到一个状态 $p$，使得 $p$ 是从 $last$ 沿后缀链接向前第一个遇到的有字符 $c$ 的转移的状态，转移可以理解为从这个状态的最长子串后面加一个 $c$ 能得到的子串所对应的状态。

第四个点：所有的能从 $last$ 沿后缀链接能到的状态都没有字符 $c$ 的转移，也就是原串里加入字符 $c$ 之前，不含有字符 $c$，那么根据后缀链接的定义，连接任何状态都不对，所以只能与源点项链。所谓从 $last$ 沿后缀链接能到的状态，可以理解为其的子串一定包含原串的所有后缀，但不仅包含这些而已。

第五个点：没啥说的，其实就是找到一个状态 $q$ 使得 $q$ 是 $p$ 的最长子串后加入一个字符 $c$ 得到的状态。

第六个点：略过

第七个点：根据后缀链接的定义，那么对于 $p$ 中的最长子串一定是不加入字符串 $c$ 的原串的后缀，那么其加入一个字符 $c$ 之后就一定是新串的后缀，而 $p$ 又是第一个找到的，也就是满足该条件的状态里最长字串最长的一个，那么在 $p$ 后面加入一个字符 $c$，也就可以理解为新串的后缀，也就是 $q$ 状态，而 $q$ 一定不等于 $cur$，而 $q$ 又是最长的一个满足条件的新串的后缀，也就是 $cur$ 的后缀，满足后缀链接的定义，所以应该从 $cur$ 后缀链接到 $q$。

第八个点：这里前提条件就是 $q$ 含有比 $p + c$ 更长的一个字符串，但是考虑一点 $p+c$ 是新串的后缀，而 $p+c$ 与 $q$ 的 $endpos$ 相同，也就是说 $q$ 里面包含的这个最长的字符串也肯定是新串的后缀。下面我们就考虑分出来这样的一个点，也就是 $clone$ ，使得 $clone$ 是类似第七个点情况下的 $q$ ，所以这样的话就应该使得 $cur$ 连向 $clone$， $q$ 连向 $clone$，根据后缀链接的定义，$clone$ 肯定是 $q$ 中的后缀，而且它们的 $endpos$ 一定不同，所以这样链接。这样的话加上字符 $c$ 的转移就有了更加好的去处，也就是 $clone$

第九个点：略过。

可能是相当的不严谨，但是我们也没必要有那么优秀的证明能力，能有自己理解的逻辑应该就够了。

时间复杂度： $O(|S|)$

用处：

（OI_Wiki 上的加上我的理解）

（1）检查一个字符串是否出现过：

因为原串的每一个子串都一定是从源点出发的一条路径，所以就从源点扫就好了

（2） 询问不同子串个数：
1.我们的 SAM 是一个有向无环图，因为每一条路径都对应原串的每一个子串，所以就相当于统计路径条数， DP 即可

2.考虑 SAM 本身的定义： SAM 上的节点定义为不同的 $endpos$ 等价类，那么我们只要能求出所有等价类的对应的子串的数量然后求和即可。对于同一 $endpos$ 等价类中的子串，其长度一定恰好完全覆盖 $[len_{link[i]} + 1,len_i]$，因为我们的后缀链接存在一个性质，$len[link[now]] = minlen[now] - 1$，根据定义也非常好理解

（3）所有不同子串的总长度：
1.利用有向无环图， DP 就好了

（4）字符串第 $k$ 大子串：
字符串第 $k$ 大子串即 SAM 上的第 $k$ 大路径，求出每个状态的路径条数，然后找就可以了

（5）最小循环移位：
$S + S$ 这个字符串里长度为 $|S|$ 的一段，一定对应着 $S$ 的一个循环进位，就对 $S + S$ 建 SAM 然后贪心选择最小的长度为 $|S|$ 的一段就好了