【学习笔记】后缀自动机（SAM）

后缀自动机

可怜的我，学了两三遍才终于有点感觉了，也是因为这东西是真的复杂。

基本定义

后缀自动机（SAM）是用来解决字符串问题的一种数据结构，可以理解为字符串的压缩形式，是一个有向无环图。其中从源点出发到达每一个点的路径都是原串的一个子串，且原串的每一个子串都一定可以表示为一条路径。

endpos

定义

在字符串 \(s\) 中，我们记 \(endpos(t)\) 为字符串 \(t\) 在 \(s\) 中所有的结束位置。例如在字符串 "\(abcbc\)" 中 \(endpos("bc") = {3,5}\) 。

我们就将 \(endpos\) 值相同的字符串称作一个等价类，即在同一个等价类中必定存在 \(endpos(t_1) = endpos(t_2)\)，其中 \(t_1,t_2\) 为两个字符串

SAM 中的每个节点对应一个等价类，即 SAM 节点的数量为等价类的数量加一，因为存在一个初始状态。

性质

性质一：若存在 \(endpos(t_1) = endpos(t_2)\)，且满足 \(|t_1| \le |t_2|\) ，即在字符串 \(s\) 中， \(t_1\) 都是以 \(t_2\) 的后缀的形式出现。

性质二：对于每一个 \(endpos\) 等价类，等价类中的子串长度一定恰好完全覆盖 \([l,r]\)，\(l\) 为最短子串长度， \(r\) 为最长子串长度。且任取两个子串，较短者一定是较长者的后缀。

后缀链接(link)

定义

对于一个状态 \(t\)，我们记 \(w\) 为其的最长子串，那么一个后缀链接就是由 \(t\) 连向 \(w\) 的所有后缀中与 \(w\) 的 \(endpos\) 值不同且最长的子串的状态。（好绕啊）

性质

性质一： 所有后缀链接构成一棵以源点为根的树

边也就是后缀链接，把所有的边反向也就是一颗以源点为根的树
（转自 OI_Wiki）

构造

SAM 的构造看上去很简单，但实际上非常难以理解。

（转自 OI_Wiki）

下面就是详细地解释一下这个东西。

SAM 的构造是在线的，也就是说我们是在原有的字符串末尾一点点插入字符然后构造的。

第一个点：没有什么好说的

第二个点：\(len(t)\) 即 \(t\) 这个节点代表的状态下的最长子串的长度，新加入的这个状态代表的最长子串也就是整个字符串，长度也就是没有这个点的时候的字符串长度加一

第三个点：其实也没啥说的，就是找到一个状态 \(p\)，使得 \(p\) 是从 \(last\) 沿后缀链接向前第一个遇到的有字符 \(c\) 的转移的状态，转移可以理解为从这个状态的最长子串后面加一个 \(c\) 能得到的子串所对应的状态。

第四个点：所有的能从 \(last\) 沿后缀链接能到的状态都没有字符 \(c\) 的转移，也就是原串里加入字符 \(c\) 之前，不含有字符 \(c\)，那么根据后缀链接的定义，连接任何状态都不对，所以只能与源点项链。所谓从 \(last\) 沿后缀链接能到的状态，可以理解为其的子串一定包含原串的所有后缀，但不仅包含这些而已。

第五个点：没啥说的，其实就是找到一个状态 \(q\) 使得 \(q\) 是 \(p\) 的最长子串后加入一个字符 \(c\) 得到的状态。

第六个点：略过

第七个点：根据后缀链接的定义，那么对于 \(p\) 中的最长子串一定是不加入字符串 \(c\) 的原串的后缀，那么其加入一个字符 \(c\) 之后就一定是新串的后缀，而 \(p\) 又是第一个找到的，也就是满足该条件的状态里最长字串最长的一个，那么在 \(p\) 后面加入一个字符 \(c\)，也就可以理解为新串的后缀，也就是 \(q\) 状态，而 \(q\) 一定不等于 \(cur\)，而 \(q\) 又是最长的一个满足条件的新串的后缀，也就是 \(cur\) 的后缀，满足后缀链接的定义，所以应该从 \(cur\) 后缀链接到 \(q\)。

第八个点：这里前提条件就是 \(q\) 含有比 \(p + c\) 更长的一个字符串，但是考虑一点 \(p+c\) 是新串的后缀，而 \(p+c\) 与 \(q\) 的 \(endpos\) 相同，也就是说 \(q\) 里面包含的这个最长的字符串也肯定是新串的后缀。下面我们就考虑分出来这样的一个点，也就是 \(clone\) ，使得 \(clone\) 是类似第七个点情况下的 \(q\) ，所以这样的话就应该使得 \(cur\) 连向 \(clone\)， \(q\) 连向 \(clone\)，根据后缀链接的定义，\(clone\) 肯定是 \(q\) 中的后缀，而且它们的 \(endpos\) 一定不同，所以这样链接。这样的话加上字符 \(c\) 的转移就有了更加好的去处，也就是 \(clone\)

第九个点：略过。

可能是相当的不严谨，但是我们也没必要有那么优秀的证明能力，能有自己理解的逻辑应该就够了。

时间复杂度： \(O(|S|)\)

用处：

（OI_Wiki 上的加上我的理解）

（1）检查一个字符串是否出现过：

因为原串的每一个子串都一定是从源点出发的一条路径，所以就从源点扫就好了

（2） 询问不同子串个数：
1.我们的 SAM 是一个有向无环图，因为每一条路径都对应原串的每一个子串，所以就相当于统计路径条数， DP 即可

2.考虑 SAM 本身的定义： SAM 上的节点定义为不同的 \(endpos\) 等价类，那么我们只要能求出所有等价类的对应的子串的数量然后求和即可。对于同一 \(endpos\) 等价类中的子串，其长度一定恰好完全覆盖 \([len_{link[i]} + 1,len_i]\)，因为我们的后缀链接存在一个性质，\(len[link[now]] = minlen[now] - 1\)，根据定义也非常好理解

（3）所有不同子串的总长度：
1.利用有向无环图， DP 就好了

（4）字符串第 \(k\) 大子串：
字符串第 \(k\) 大子串即 SAM 上的第 \(k\) 大路径，求出每个状态的路径条数，然后找就可以了

（5）最小循环移位：
\(S + S\) 这个字符串里长度为 \(|S|\) 的一段，一定对应着 \(S\) 的一个循环进位，就对 \(S + S\) 建 SAM 然后贪心选择最小的长度为 \(|S|\) 的一段就好了