【学习笔记】高斯消元
说在前面：
高斯消元看上去是一个很复杂的东西，但是其实只要是理解了就会发现也就那样的
算法功能：
解方程组。
没错就是如此的简单，就是去解方程组。但是高斯消元一般是用来解决含有上百个未知数的方程组。
其时间复杂度为 \(O(n^3)\)
算法详解：
下面我就来介绍一下高斯消元的最简单的应用，也就是解正常的一次方程组。
比如我们有以下的方程组：
在高斯消元的过程中我们会将它转化为一个矩阵，矩阵里第 \(i\) 行代表第 \(i\) 个式子，第 \(j\) 列代表第 \(j\) 个未知数的系数，其中第 \(n+1\) 也就是最后一列，代表常数项，也就是等于号后面的数
那么以上的这个方程组就会被写为：
这个时候可能会很懵，但是一定要静下心来仔细看看这个矩阵和上面的方程组
我们高斯消元的思想就是加减消元，就是我们在小学会学习到的那个知识
加减消元的解释：（如果会了就请跳过，避免看了之后有点晕）
比如我们有以下一个二元一次方程组：
那么如何进行加减消元呢？
我们考虑先消掉 \(x\)
很简单：\((1) - 3 \times (2)\)
这样就能得到
我们就成功地将 \(x\) 这个未知数消掉了，接下来就只剩下了一个未知数，很明显就可以直接算出来 \(y = 0\)，然后将这个值带回去，就能解出 \(x = 2\)
我们在高斯消元中，就是用加减消元，从第一个未知数开始一个一个地消，直到消到只剩下一个未知数就能很轻松地能将方程解出来
按我的代码习惯而言，就是将每一个式子都消掉只剩一个未知数，这样 \(n\) 个式子每个式子对应一个未知数就很好地能解出来
代码详解：
下面先放代码，根据代码一点点来解释
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a[105][105];
int n;
bool Gauss(){
for(int i=1; i<=n; i++){ //第几个未知数/第几列
int mx = i; //先让最大值为 i;
for(int j = i+1; j<=n; j++){ //找到第 i 列上绝对值最大的那个数在第几行
//前 i-1 行已经有了自己的位置，就是自己有独特的保留的未知数了，再次将他设为 i 需要的值
//那么它本身的那个数就没了
if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[mx][i])){
mx = j;
}
}
//我们认为第 i 行就是仅包含第 i 个未知数的那一行
if(mx != i){ //交换两行，需要全部交换
for(int j=1; j<=n+1; j++){
swap(a[i][j],a[mx][j]);
}
}
if(!a[i][i]){ //这一列都是 0 ，所以说这一列对未知数没有限制，也就是有可以任意取值的未知数
printf("No Solution");
return false;
}
for(int j=1; j<=n; j++){
if(j != i){
double tmp = a[j][i] / a[i][i]; //代表要减多少倍才能将这一行的第 i 个未知数消掉，因为要减一起减，所以就全部减了
for(int k = i; k<=n+1; k++){
//因为前 i 列已经被之前消没了，就全是 0 了
a[j][k] -= a[i][k] * tmp;
}
}
}
}
return true;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1; i<=n; i++){
for(int j=1; j<=n+1; j++){
cin>>a[i][j];
}
}
if(Gauss()){
for(int i=1; i<=n; i++){
printf("%.2f\n",a[i][n + 1] / a[i][i]);
}
}
return 0;
}
我们就顺着代码一点点来看，这里的高斯消元部分也就是那个 \(Gauss()\) 函数（可能有点长，但是耐心读一读应该会有所收获）
首先最外层循环，枚举当前消到了哪一个未知数，也就是该消哪一个了。
注意我上文的解释，既然枚举到了这一个未知数，那么按照我的码风来说，前 \(i-1\) 个未知数是都被消没了的，因为如果没有消没，就不可能再将后面的式子都化为只含有一个未知数的式子
然后就继续往下看。
下面的这个 \(for\) 循环就是在寻找当前未知数中绝对值最大的是谁在哪一个式子里，然后我们就要将别的式子通过加减我们找到的这个式子，来将当前的未知数消掉。
而且我们默认有一点：第 \(i\) 个式子其最后只含有第 \(i\) 个未知数，所以我们的 \(j\) 是从 \(i\) 开始枚举，一开始第 \(i\) 行被认为是最大的一行，也相当于枚举了，也就有了下面的 \(if\) 里面的交换操作。
注意对于交换完了之后第 \(i\) 个式子就是我们找到的当前未知数绝对值最大的一个式子，那么第 \(i\) 行的第 \(i\) 列，也就是第 \(i\) 个未知数绝对值最大的那个数
继续最后的一个循环，就是用第 \(i\) 行的这个式子去消其他的式子，也就是将其他行的第 \(i\) 个未知数消去，让他们的系数全都变成 \(0\)
其他的不用我多说，我代码里写的也很清楚，也很简单，重点在于 \(k\) 的范围 \([i,n+1]\)，是不是有种很懵的感觉
不着急，我们一点点看，先看左边界 \(i\) ，因为我们消元就是将除了第 \(i\) 个式子之外的所有式子中含有的未知数 \(i\) 的系数全部变成 \(0\)，那么就意味着当我们枚举到 \(i\) 的时候前 \(i-1\) 个未知数，也就是前 \(i-1\) 行，一定都被全消成 \(0\) 了，那么此时我们再去枚举这些本来就是 \(0\) 的地方，想让他变成 \(0\) 也就没有任何意义了。
再来看右边界 \(n+1\)，我们考虑第 \(n+1\) 列存的是什么，存的是不是就是我们的常数项啊，在我们加减消元的过程中常数项也是需要加减的，因为这样才会满足等式的性质，等于号才不变
如果有感觉我哪里解释的不对或者不清楚，欢迎给我留言
