【学习笔记】Manacher

对算法本身的部分理解：

if(2 * maxn - i >= 1)	
    f[i] = min(f[2 * maxn - i],maxr - i);
else	
    f[i] = maxr - i;

关于这个算法，最难以理解的部分也就这里，也就是判断 \(i\) 的最长回文长度的下界。

首先定义 \(j\) 为 \(i\) 关于 \(maxn\) 的对称点，\(mxr\) 为已有回文半径覆盖到的最右点，\(maxn\) 为其的中心点

首先关于 \(j\) 的寻找，因为 \(maxn = \frac{i-j}{2}\)，所以可以化简得：\(2\times maxn = i - j\)，所以 \(j = 2\times maxn - i\)

关于第一行的判断条件，也就是在判断 \(j\) 的存在，然后看后面的两种情况。

1：若 \(f[j] < maxr - i\)，我们选择的下界会是 \(f[j]\)，则有下图

​

​ 其中用红线代表 \(i,j\) 的回文范围，\(maxr- i\) 也就是 \(i\) 到 \(maxr\) 的距离。首先因为这一长段都是以 \(maxn\) 为中心的回文子串，所以其实以 \(j\) 为中心的回文子串也在以 \(i\) 为中心的回文子串那里（不一定完整），因为 \(j\) 的回文半径小于 \(i\) 到 \(maxr\) 的距离，所以以 \(j\) 为中心的整个回文串都完整地到了 \(i\) 的地方，所以对于 \(i\) 来说它的回文半径的下界也就是 \(j\) 的回文半径。之所以说是下界，因为超过这个下界的 \(i\) 的右边可能有一些值仍然可以和 \(i\) 的左边匹配，因为超过部分不一定和 \(j\) 那里一样，所以是下界。

2：若 \(f[j] > maxr - i\)，我们选择的下界会是 \(maxr - i\)，则有下图：

此时也就相当于 \(j\) 的回文半径的长度超过了 \(maxn\) 的限制，也就是以 \(j\) 为中心的回文串只有一部分因为 $maxn $ 的限制而来到了 \(i\) 的位置，而这一部分的长度也就是 $j $ 到 $maxn $ 限制的左端点的距离，也就是 \(maxr - i\) 那么因为这一段有 \(maxn\) 的限制再加上在 \(j\) 是回文的，所以也一定是回文的