素数筛法--SPOJ Problem 2 Prime Generator

质数(prime number)又称素数，除了1和它本身外，不能整除以其他自然数，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。最小的质数是2。

要判断一个整数N是不是质数很简单，看它是否能被2到sqrt(N)之间的整数整除即可。

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1 2 3 4 5 6 7

def isPrime(n):     if n%2==0:         return False     for i in xrange(3,int(math.sqrt(n)+1),2):         if n%i==0:             return False     return True

不过要找出1到N之间的所有质数时，一个个的判定显然不是一个好主意。由于合数可以分解成一系列质数之积，所以1到N之间的合数都是1到sqrt(N)之间某个质数的倍数，排除这些合数，剩余的即为质数：

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

import math import timeit def findPrime(n):     a=[True]*(n+1)     a[0]=False     a[1]=False     for i in xrange(2,int(math.sqrt(n)+1)):         if a[i]:             k=i*i             while k<=n:                 a[k]=False                 k=k+i      if __name__=='__main__':     t=timeit.Timer('findPrime(2000000)','from __main__ import findPrime')     print t.timeit(1)

算法从2开始判断是否为质数，并排除质数的倍数，当2至i都被判断后，i+1是否为质数已很明确。

SPOJ Problem 2  Prime Generator 要求找出n至m之间的质数，其中1 <= m <= n <= 1000000000, n-m<=100000。

这种情况下建一个1000000000长度的序列就太浪费空间了，需要先找出1至sqrt(n)之间的质数，然后将n与m之间这些质数的倍数排除：

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

import math def findPrime(n):     a=[True]*(n+1)     a[0]=False     a[1]=False     for i in xrange(2,int(math.sqrt(n)+1)):         if a[i]:             k=i*i             while k<=n:                 a[k]=False                 k=k+i     for i in xrange(2,n+1):         if a[i]:             yield i def findPrimeBySeed(n,m):     if n==1:         n=2     seed=findPrime(int(math.sqrt(m)))     alist=[1]*(m-n+1)       for prime in seed:           if prime<n:             k=(prime-n%prime)%prime         else:             k=2*prime-n         while k<=m-n:             alist[k]=False                           k+=prime     for i in xrange(m-n+1):         if alist[i]:             print i+n                     if __name__=='__main__':       line=int(raw_input())     for i in xrange(line):         n,m=raw_input().split()         findPrimeBySeed(int(n),int(m))         print