图论(四)------非负权有向图的单源最短路径问题，Dijkstra算法

Dijkstra算法解决了有向图G=(V,E)上带权的单源最短路径问题，但要求所有边的权值非负。

Dijkstra算法是贪婪算法的一个很好的例子。设置一顶点集合S，从源点s到集合中的顶点的最终最短路径的权值均已确定。算法反复选择具有最短路径估计的顶点u，并将u加入到S中，对u

的所有出边进行松弛。如果可以经过u来改进到顶点v的最短路径的话，就对顶点v的估计值进行更新。

如上图，u为源点，顶点全加入到优先队列中。

，队列中最小值为u(值为0)，u出队列，对u的出边进行松弛(x、v、w)，队列最小值为x。

将x出列加入S，将x的出边松弛(v、y、w)，其中w的值需要更新(4<5)，队列最小值为v。

将v出列，加入到S中，将v的出边松弛(w)，因x已在S中，故不做松弛。队列中的最小值为y。

将y出列，y加入到S，松弛y的出边(w、z)，更新w的值(3<4)，队列最小值为w。

将w出列，加入到S中，松弛w的出边(z)，队列最小值为z。

将z出列，加入到S中。将z的出边松弛(无)，此时队列为空，算法结束。

Dijkstra算法的运行时间依赖于最小优先队列的具体实现。如果简单的运用数组实现求最小值，运行时间为O(V²+E)=O(V²)。

如果图比较稀疏，E=o(V²/lgV)，如果用二叉最小堆实现，则为O((V+E)lgV)。

如果用斐波那契堆实现，可以提升到O(VlgV+E)。

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import sys class Vertex(object):     def __init__(self,key):         self.id=key         self.adj={}     def addNeighbor(self,nbr,weight=0):         self.adj[nbr]=weight     def getNeighbors(self):         return self.adj.keys()     def getId(self):         return self.id     def getWeight(self,key):         return self.adj[key] class Graph(object):     def __init__(self):         self.vertexlist={}         self.size=0     def addVertex(self,key):         vertex=Vertex(key)         self.vertexlist[key]=vertex         self.size+=1         return vertex     def getVertex(self,key):         return self.vertexlist.get(key)     def __contains__(self,key):         if key in self.vertexlist:             return True         else:             return False     def addEdge(self,f,t,weight=0):         if f not in self.vertexlist:             self.addVertex(f)         if t not in self.vertexlist:             self.addVertex(t)         self.vertexlist[f].addNeighbor(self.vertexlist[t],weight)     def getVertices(self):         return self.vertexlist.keys()     def __iter__(self):         return iter(self.vertexlist.values()) def Dijkstra(G,s):     path={}     vertexlist=[]     for v in G:         vertexlist.append(v)         path[v]=sys.maxsize     path[s]=0     queue=PriorityQueue(path)     queue.buildHeap(vertexlist)     while queue.size>0:         vertex=queue.delMin()         for v in vertex.getNeighbors():             newpath=path[vertex]+vertex.getWeight(v)             if newpath<path[v]:                 path[v]=newpath                 queue.perUp(v)     return path       class PriorityQueue(object):     def __init__(self,path):         self.path=path         self.queue=[]         self.size=0     def buildHeap(self,alist):         self.queue=alist         self.size=len(alist)         for i in xrange(self.size/2-1,0,-1):             self._perDown(i)     def delMin(self):         self.queue[0],self.queue[-1]=self.queue[-1],self.queue[0]         minvertex=self.queue.pop()         self.size-=1         self._perDown(0)         return minvertex           def perUp(self,v):         i=self.queue.index(v)         self._perUp(i)     def _perUp(self,i):         if i>0:             if self.path[self.queue[i]]<=self.path[self.queue[(i-1)/2]]:                 self.queue[i],self.queue[(i-1)/2]=self.queue[(i-1)/2],self.queue[i]                 self._perUp((i-1)/2)     def _perDown(self,i):         left=2*i+1         right=2*i+2         little=i         if left<=self.size-1 and self.path[self.queue[left]]<=self.path[self.queue[i]]:             little=left         if right<=self.size-1 and self.path[self.queue[right]]<=self.path[self.queue[little]]:             little=right         if little!=i:             self.queue[i],self.queue[little]=self.queue[little],self.queue[i]             self._perDown(little)          if __name__=='__main__':     g= Graph()     g.addEdge('u','x',1)     g.addEdge('u','v',2)     g.addEdge('u','w',5)     g.addEdge('x','v',2)     g.addEdge('x','y',1)     g.addEdge('x','w',3)     g.addEdge('v','w',3)     g.addEdge('y','w',1)     g.addEdge('y','z',1)     g.addEdge('w','z',5)     u=g.getVertex('u')     path=Dijkstra(g,u)     for v in path:         print v.id,path[v]