量子随机游走

符号定义

考虑随机矩阵$P\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$,这里规定列和为$1$.故对于任意状态$x\in {\mathbb{R}}^n$, 游走一步后为

$$x^{\prime }=Px.$$

在量子离散随机游走当中,我们可以用一个${\mathbb{C}}^N\otimes {\mathbb{C}}^N$中的酉变换描述.引入状态

$$|{\psi }_j⟩=|j⟩\otimes \sum _{k=1}^N\sqrt{p_{kj}}|k⟩=\sum _{k=1}^N\sqrt{p_{kj}}|j,k⟩$$

由随机矩阵性质可知$|{\psi }_j⟩$是归一化的.令

$$\mathrm{\Pi }=\sum _{j=1}^N|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_j|$$

为空间$\text{span}\{|{\psi }_j⟩\}$上的投影,并定义交换算子

$$S=\sum _{j,k=1}^N|j,k⟩⟨k,j|.$$

上述矩阵的性质:$S^2=I,{\mathrm{\Pi }}^2=\mathrm{\Pi },S=S^{†},\mathrm{\Pi }={\mathrm{\Pi }}^{†}$.

我们将量子游走的一步定义为$U=S(2\mathrm{\Pi }-I)$.

首先不难看出$U$是酉变换.因为

$$\begin{array}{rl}U{U}^{†}& =S(2\mathrm{\Pi }-I)[S(2\mathrm{\Pi }-I){]}^{†}\\ & =S[(2\mathrm{\Pi }-I){]}^{2}S\\ & =S^2=I\end{array}$$

考虑一下游走两步的效果,即

$$\begin{array}{rl}{U}^2& =S(2\mathrm{\Pi }-I)S\cdot (2\mathrm{\Pi }-I)\\ & =[2S\mathrm{\Pi }(S\mathrm{\Pi }{)}^{†}-I](2\mathrm{\Pi }-I)\end{array}$$

这里可以视为先进行$\text{span}\{|{\psi }_j⟩\}$上的投影, 后进行$\text{span}\{S|{\psi }_j⟩\}$上的投影.这是因为

$$S\mathrm{\Pi }(S\mathrm{\Pi }{)}^{†}=\sum _{j=1}^{N}S|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_j|\sum _{l=1}^N|{\psi }_l⟩⟨{\psi }_l|S=\sum _{j=1}^{N}S|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_j|S^{†}$$