有向无环图

一、什么是有向无环图（DGA）

首先我们需要知道怎样才算一个图，这里的图指的是离散数学中的图。在我们的认知中，两点可以确定一条直线，多条直线就能组成一张图。

当我们用集合来表示的时候，图就是由点的有穷非空集合以及线的集合所组成。在离散数学中，图是用于表示物体与物体之间关系的一种结构，

然后呢，将物体抽象为“顶点”或者“节点”，将物体间的关系抽象为边。这时我们用符号来表示这个集合G = （V,E），V代表顶点的集合，E就代表边的集合。

 

接下来就是正题，有向无环图。有向很好理解，就是两个顶点之间是有方向的，比如A指向B。那么什么是无环呢，假设从A到B有一条边，并且方向是从A指向B

然后B又指向另外一个顶点构成一张有向图（图中两个顶点之间都有方向）。简单理解就是，我从A出发，不管我怎么走我都不能回到A，这就是无环，那么反之

只要我有一条路能让我回到我出发的那个顶点就表示有环。

上图就是一个有向无环图，需要注意的是无环的定义，不能简单的认为顶点之间不能围成一个环，而是你从一个顶点出发不论怎么走都不能回到起点。

我们以上图的11当做起点，它能到达2,10,9，但是回不到11。

二、有向无环图的一些性质

1.在算法中有向无环图的最短路径或者最长路径通常使用拓扑排序，可以使时间复杂度变为线性的。将顶点拓扑排序后，从前到后遍历每一个顶点，

对于遍历到的顶点，更新其所有出边所到达顶点的长度值。这个时候我们求最短路就只需要选择短的边既可。

2.任何的有向树都能转化为有向无环图，但是反过来则不一定，因为有向无环图中从一个顶点到另外一个顶点有可能存在两条路。