DS博客作业04--图
0.PTA得分截图
1.本周学习总结（0-5分）
1.1 总结图内容
图存储结构
比较常见和重要的图的存储结构：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵：
内容：
邻接矩阵，顾名思义，是一个矩阵，一个存储着边的信息的矩阵，而顶点则用矩阵的下标表示。对于一个邻接矩阵M，如果M（i,j）=1，则说明顶点i和顶点j之间存在一条边，对于无向图而言，M（i，j）=M（j，i），所以其邻接矩阵是一个对称的矩阵；对于有向图而言，则未必是一个对称的矩阵。邻接矩阵的对角线元素都为0.如下图是一个无向图与其对应的邻接矩阵：
注意点：
图的邻接矩阵存储方式，结构由顶点数量、边数量、顶点集合和边集合组成。
其中顶点集合一维数组，根据顶点的数量动态分配数组大小。
边集合是二维数组，根据顶点的数量来动态分配数组大小，对于无向图来说，该邻接矩阵是对称矩阵。
邻接矩阵比较适用于稠密图。
结构体定义：
#define MAXV <最大顶点个数>
typedef struct
{ int no; //顶点编号
InfoType info; //顶点其他信息
} VertexType;
typedef struct //图的定义
{ int edges[MAXV][MAXV]; //邻接矩阵
int n，e; //顶点数，边数
VertexType vexs[MAXV]; //存放顶点信息
} MatGraph;
MatGraph g;//声明邻接矩阵存储的图
应用：
6-1 jmu-ds-邻接矩阵实现图的操作集
邻接表：
对于顶点数很多但是边数很少的图来说，用邻接矩阵显得略为“奢侈”，因为矩阵元素为1的很少，即其中的有用信息很少，但却占了很大的空间。所以邻接表的存在就很有必要了。
内容：
邻接表，存储方法跟树的孩子链表示法相类似，是一种顺序分配和链式分配相结合的存储结构。如这个表头结点所对应的顶点存在相邻顶点，则把相邻顶点依次存放于表头结点所指向的单向链表中。
对于无向图来说，使用邻接表进行存储也会出现数据冗余，表头结点A所指链表中存在一个指向C的表结点的同时，表头结点C所指链表也会存在一个指向A的表结点。
沿用上面邻接矩阵的无向图来构建邻接表，如下图所示：
作为顶点0，它的邻接顶点有1,3,4，形成的边有(0,1),(0,3)和(0,4)，所以顶点0将其指出来了；
对于顶点1，它的邻接顶点有0,2,4，所以顶点1将其指出来了，以此类推。
他们的边没有先后顺序之分。
左边的节点称为顶点节点，其结构体包含顶点元素和指向第一条边的指针；
右边的为边节点，结构体包含边的顶点对应的下标，和指向下一个边节点的指针。
对于有权值的网图，只需要在边节点增加一个权值的成员变量即可。
结构体定义：
typedef struct Vnode
{ Vertex data; //顶点信息
ArcNode *firstarc; //指向第一条边
} VNode;
typedef struct ANode
{ int adjvex; //该边的终点编号
struct ANode *nextarc; //指向下一条边的指针
InfoType info; //该边的权值等信息
} ArcNode;
typedef struct
{ VNode adjlist[MAXV] ; //邻接表
int n，e; //图中顶点数n和边数e
} AdjGraph;
AdjGraph *G；//声明一个邻接表存储的图G
应用：
6-2 jmu-ds-图邻接表操作
图遍历及应用。
图的遍历算法有两种：深度优先搜索和广度优先搜索
深度优先搜索：
内容：
深度优先搜索算法所遵循的策略是尽可能“深”地搜索一个图，它的基本思想是首先访问图中某一个起始定点v，然后由v出发，访问与v邻接且为被访问的任一个顶点w，再访问与w邻接且未被访问的任一顶点...重复上述过程，当不能再继续向下访问时，一次退回到最近被访问的顶点，若它还有邻接顶点未被访问，则从该点开始继续上述搜索过程，直到图中所有顶点均被访问过为止
算法实现：
void DFS(ALGraph *G,int v)
{ ArcNode *p;
visited[v]=1; //置已访问标记
printf("%d ",v);
p=G->adjlist[v].firstarc;
while (p!=NULL)
{
if (visited[p->adjvex]==0)
DFS(G,p->adjvex);
p=p->nextarc;
}
}
时间复杂度：
邻接表：O(n+e)
邻接矩阵：O(n2)
应用：
7-1 图着色问题
7-2 六度空间
判断图是否连通:
思想：
采用某种遍历方式来判断无向图G是否连通。先给visited[]数组（为全局变量）置初值0，然后从0顶点开始遍历该图。
在一次遍历之后，若所有顶点i的visited[i]均为1，则该图是连通的；否则不连通。
代码实现：
int visited[MAXV];
bool Connect(AdjGraph *G) //判断无向图G的连通性
{ int i;
bool flag=true;
for (i=0;i<G->n;i++) //visited数组置初值
visited[i]=0;
DFS(G，0); //调用前面的中DSF算法，从顶点0开始深度优先遍历
for (i=0;i<G->n;i++)
if (visited[i]==0)
{ flag=false;
break;
}
return flag;
}
应用：
7-5 通信网络设计 (10分)
查找图路径
如图
从图中的v1找到到v4的所有路径：
1.从v1出发，将v1标记，并将其入栈。
2.找到v0，将其标记，将其入栈。
3.找到v4，将其标记，入栈。v4是终点，将栈中的元素从栈底往栈顶输出，即为一条路径。v4出栈，并取消标记，回溯到v0。
4.v0除v4外无其它出度，将v0出栈，并取消标记，回溯到v1。
5.找到v2，将其标记并入栈。
6.找到v0，将其标记并入栈。
7.找到v4，将其标记，入栈。v4是终点，将栈中的元素从栈底往栈顶输出，即为一条路径。v4出栈，并取消标记，回溯到v0。
8.v0除v4外无其它出度，将v0出栈，并取消标记，回溯到v2。
9.找到v3，将其标记并入栈。
10.找到v4，将其标记，入栈。v4是终点，将栈中的元素从栈底往栈顶输出，即为一条路径。v4出栈，并取消标记，回溯到v3。
11.v3除v4外无其它出度，将v3出栈，并取消标记，回溯到v2。
12.v2除v0，v3外无其它出度，将v2出栈，并取消标记，回溯到v1。
13.v1除v0，v2外无其它出度，将v1出栈，栈空，结束遍历。
代码实现
void DFS(int start,int end)//深搜入栈查询所有路径
{
visited[start] = true;//visited数组存储各定点的遍历情况，true为已遍历（标记）
stack.Push(某个顶点);//入栈
for (int j = 0; j < list.Size(); j++) {
if (start== end) {//找到终点
for (int i=0; i < stack.Size()-1; i++) {
//输出从栈底到栈顶的元素，即为一条路径
}
stack.Pop();//出栈
visited[start] = false;
break;
}
if (!visited[j]) {//该顶点未被访问过
DFS(j,end);
}
if (j == list.Size() - 1 ) {//如果该顶点无其它出度
stack.Pop();
visited[start] = false;
}
}
}
广度优先搜索：
宽度优先搜索算法(又称广度优先搜索)是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。
通俗来说，从某点开始，走四面可以走的路，然后在从这些路，在找可以走的路，直到最先找到符合条件的，这个运用需要用到队列。
代码实现：
邻接矩阵：
void BFS(AMGraph &G,char v0)
{
int u,i,v,w;
v = LocateVex(G,v0); //找到v0对应的下标
printf("%c ", v0); //打印v0
visited[v] = 1; //顶点v0已被访问
q.push(v0); //将v0入队
while (!q.empty())
{
u = q.front(); //将队头元素u出队，开始访问u的所有邻接点
v = LocateVex(G, u); //得到顶点u的对应下标
q.pop(); //将顶点u出队
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
w = G.vexs[i];
if (G.arcs[v][i] && !visited[i])//顶点u和w间有边，且顶点w未被访问
{
printf("%c ", w); //打印顶点w
q.push(w); //将顶点w入队
visited[i] = 1; //顶点w已被访问
}
}
}
}
邻接表：
void BFS(ALGraph &G, char v0)
{
int u,w,v;
ArcNode *p;
printf("%c ", v0); //打印顶点v0
v = LocateVex(G, v0); //找到v0对应的下标
visited[v] = 1; //顶点v0已被访问
q.push(v0); //将顶点v0入队
while (!q.empty())
{
u = q.front(); //将顶点元素u出队，开始访问u的所有邻接点
v = LocateVex(G, u); //得到顶点u的对应下标
q.pop(); //将顶点u出队
for (p = G.vertices[v].firstarc; p; p = p->nextarc) //遍历顶点u的邻接点
{
w = p->adjvex;
if (!visited[w]) //顶点p未被访问
{
printf("%c ", G.vertices[w].data); //打印顶点p
visited[w] = 1; //顶点p已被访问
q.push(G.vertices[w].data); //将顶点p入队
}
}
}
}
查找最短路径
有Dijkstra（迪杰斯特拉）算法和用Floyd（弗洛伊德）算法
Dijkstra（迪杰斯特拉）算法：
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法主要是针对没有负值的有向图，求解其中的单一起点到其他顶点的最短路径算法。
算法思想：
设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
具体操作
1.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
2.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
3.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
4.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
代码实现（仅仅只是思路，未进行测试）
const int MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];
int A[MAXUNM][MAXNUM];
void Dijkstra(int v0)
{
bool S[MAXNUM]; // 判断是否已存入该点到S集合中
int n=MAXNUM;
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
dist[i] = A[v0][i];
S[i] = false; // 初始都未用过该点
if(dist[i] == MAXINT)
prev[i] = -1;
else
prev[i] = v0;
}
dist[v0] = 0;
S[v0] = true;
for(int i=2; i<=n; i++)
{
int mindist = MAXINT;
int u = v0; // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
for(int j=1; j<=n; ++j)
if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
{
u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
mindist = dist[j];
}
S[u] = true;
for(int j=1; j<=n; j++)
if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
{
if(dist[u] + A[u][j] < dist[j]) //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径
{
dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist
prev[j] = u; //记录前驱顶点
}
}
}
}
Floyd（弗洛伊德）算法：
是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
算法思想：
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
具体操作：
1.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
2.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
代码实现：
typedef struct
{
char vertex[VertexNum]; //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
int n,e; //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;
void Floyd(MGraph g)
{
int A[MAXV][MAXV];
int path[MAXV][MAXV];
int i,j,k,n=g.n;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
A[i][j]=g.edges[i][j];
path[i][j]=-1;
}
for(k=0;k<n;k++)
{
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
{ A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
path[i][j]=k;
}
}
}
应用：
7-6 旅游规划
6-4 jmu-ds-最短路径
最小生成树：
prim算法：
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。
具体操作：
输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
重复下列操作，直到Vnew = V：
在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
代码实现：
void prim()
{
for (int i=1;i<=n;i++) //以1作为根节点
{
if(edge[1][i]!=INF)
p[i]=1;
d[i]=edge[1][i];
}
while (1)
{
int maxx=INF;
int u=-1;
for (int i=1;i<=n;i++) //找到距离生成树最短距离的节点
{
if(!vis[i]&&d[i]<maxx)
{
maxx=d[i];
u=i;
}
}
if(u==-1)
break;
vis[u]=1；
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if(!vis[i]&&d[i]>edge[u][i])
{
d[i]=edge[u][i];
p[i]=u;
}
}
}
int sum=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
if(p[i]==-1)
{
printf("不存在最小生成树\n");
return ;
}
else
sum+=d[i];
printf("最短生成树的长度为%d\n",sum);
return ;
}
时间复杂度：
邻接矩阵:O(n2)
邻接表:O(elog2n)
Kruskal算法
克鲁斯卡尔算法的基本思想是以边为主导地位，始终选择当前可用的最小边权的边。每次选择边权最小的边链接两个端点是kruskal的规则，并实时判断两个点之间有没有间接联通。
具体操作：
输入：图G
输出：图G的最小生成树
(1)将图G看做一个森林，每个顶点为一棵独立的树
(2)将所有的边加入集合S，即一开始S = E
(3)从S中拿出一条最短的边(u,v)，如果(u,v)不在同一棵树内，则连接u,v合并这两棵树，同时将(u,v)加入生成树的边集E'
(4)重复(3)直到所有点属于同一棵树，边集E'就是一棵最小生成树
代码实现：
void Kruskal(AdjGraph *g)
{ int i，j，u1，v1，sn1，sn2，k;
int vset[MAXV]; //集合辅助数组
Edge E[MaxSize]; //存放所有边
k=0; //E数组的下标从0开始计
for (i=0;i<g.n;i++) //由g产生的边集E，邻接表
{ p=g->adjlist[i].firstarc;
while(p!=NULL)
{ E[k].u=i;E[k].v=p->adjvex;
E[k].w=p->weight;
k++; p=p->nextarc;
}
}
Sort(E，g.e); //用快排对E数组按权值递增排序
for (i=0;i<g.n;i++) //初始化集合
vset[i]=i;
}
应用：
7-4 公路村村通
拓扑排序：
介绍：
对一个有向无环图G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。一个AOV网应该是一个有向无环图，即不应该带有回路，因为若带有回路，则回路上的所有活动都无法进行（对于数据流来说就是死循环）。在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列，由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序。AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。
实现步骤：
在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出；
从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧，即删除所有和它有关的边；
重复上述两步，直至所有顶点输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止，后者代表我们的有向图是有环的，因此，也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。
举例：
如下图：
首先，我们发现V6和v1是没有前驱的，所以我们就随机选去一个输出，我们先输出V6，删除和V6有关的边，得到下图：
然后，我们继续寻找没有前驱的顶点，发现V1没有前驱，所以输出V1，删除和V1有关的边，得到下图：
再然后，我们又发现V4和V3都是没有前驱的，那么我们就随机选取一个顶点输出，我们输出V4，得到下图：
再再再然后，我们输出没有前驱的顶点V3，得：
没有然后了，最后我们分别输出V5和V2，最后全部顶点输出完成，
该图的一个拓扑序列为：v6–>v1—->v4—>v3—>v5—>v2。
结构体定义：
typedef struct //表头节点类型
{ vertex data; //顶点信息
int count; //存放顶点入度
ArcNode *firstarc; //指向第一条弧
} VNode;
代码实现：
void TopSort(AdjGraph *G) //拓扑排序算法
{ int i，j;
int St[MAXV]，top=-1; //栈St的指针为top
ArcNode *p;
for (i=0;i<G->n;i++) //入度置初值0
G->adjlist[i].count=0;
for (i=0;i<G->n;i++) //求所有顶点的入度
{ p=G->adjlist[i].firstarc;
while (p!=NULL)
{ G->adjlist[p->adjvex].count++;
p=p->nextarc;
}
}
应用：
6-3 jmu-ds-拓扑排序 (20分)
关键路径：
介绍：
关键路径：AOE-网中，从起点到终点最长的路径的长度（长度指的是路径上边的权重和）。
假设起点是v0，则我们称从v0到vi的最长路径的长度为vi的最早发生时间，同时，vi的最早发生时间也是所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间，使用e（i）表示活动ai最早发生时间，除此之外，我们还定义了一个活动最迟发生时间，使用l（i）表示，不推迟工期的最晚开工时间。我们把e（i）=l（i）的活动ai称为关键活动，因此，这个条件就是我们求一个AOE-网的关键路径的关键所在了。
具体步骤：
1.输入顶点数和边数，已经各个弧的信息建立图
2.从源点v1出发，令ve[0]=0;按照拓扑序列往前求各个顶点的ve。如果得到的拓扑序列个数小于网的顶点数n，说明我们建立的图有环，无关键路径，直接结束程序
3.从终点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓扑序列，往后求其他顶点vl值
4.根据各个顶点的ve和vl求每个弧的e（i）和l（i），如果满足e（i）=l（i），说明是关键活动。
1.2.谈谈你对图的认识及学习体会。
图的存储结构有两种，邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵可以用二维数组来做，邻接表结构是好理解，但结构体的定义还是有一些复杂。
图是一种比线性表和树更为复杂的数据结构，在这种结构中，任意两个元素之间可能存在关系。
图的遍历分为深度遍历和广度遍历。算法上有Dljkstra算法，Floyd算法。
不知怎么的感觉最近学习总是有点赶，可能是最近学得比较理论化的东西且算法多而杂，有点迷糊。
2.阅读代码（0--5分）
2.1 题目及解题代码
题目：
解题代码：
class Solution {
public:
int findCheapestPrice(int n, vector<vector<int>>& flights, int src, int dst, int K) {
const int INF = 0x3f3f3f3f;
vector<int> dist(n, INF);
vector<int> backup(n);
dist[src] = 0;
for (int i = 0; i<= K; i++){
backup.assign(dist.begin(), dist.end());
for (auto &f: flights){
dist[f[1]] = min(dist[f[1]], backup[f[0]] + f[2]);
}
}
if (dist[dst] > INF /2) return -1;
return dist[dst];
}
};
2.1.1 该题的设计思路
本题用的是Bellman-Ford算法（似乎是一种高大上的算法，作者只说用了这个算法，没说这个算法怎么用，头大）
Bellman-Ford算法最关键的部分是松弛操作。即：
for i = 0 to i<= K
backup.assign(dist.begin(), dist.end());
for 枚举所有边
更新最短路
end for;
end for;
查了一下Bellman-Ford算法的应用：
处理有负权边的图；
循环次数的含义：循环K次后，表示不超过K条边的最短距离；
有边数限制的最短路；
如果有负权回路，最短路不一定存在；
Bellman-Ford算法可以求出是否有负环；
第n循环后，还有更新，说明路径上有n+1个点，也就是存在环，还有更新，说明环是负环；
循环n次后, 所有的边u->v,权w满足三角不等式:dist[v]<=dist[u]+w；
时间复杂度：O（n2）；
空间复杂度：O（n2）；
2.1.2 该题的伪代码
伪代码：
class Solution {
public:
int findCheapestPrice(int n, vector<vector<int>>& flights, int src, int dst, int K) {
const int INF = 0x3f3f3f3f;
定义vector<int> dist(n, INF)表示到起点的最短距离
定义vector<int> backup(n)为了防止串联
dist[src] = 0;
for i = 0 to i<= K
backup.assign(dist.begin(), dist.end());
for 枚举所有边
更新最短路
end for;
end for;
if (dist[dst] > INF /2) return -1;
return dist[dst];
}
};
2.1.3 运行结果
2.1.4分析该题目解题优势及难点。
优势点，同时也是难点：对Bellman-Ford算法的理解和使用，使代码量大大减少；
当然有个较大的缺点：复杂度高，运行效率略低。
2.2 题目及解题代码
题目：
解题代码：
bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites)
{
vector<int> inDegree(numCourses, 0);
vector<vector<int>> lst(numCourses, vector<int>());
for (auto v : prerequisites)
{
inDegree[v[0]]++;
lst[v[1]].push_back(v[0]);
}
queue<int> que;
for (auto i = 0; i < inDegree.size(); i++)
{
if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
}
vector<int> ans;
while (!que.empty())
{
auto q = que.front();
que.pop();
ans.push_back(q);
for (auto l : lst[q])
{
if (--inDegree[l] == 0) que.push(l);
}
}
return ans.size() == numCourses;
}
2.2.1 该题的设计思路
本题应用拓扑排序，具体操作如下：
入度：设有向图中有一结点 v ，其入度即为当前所有从其他结点出发，终点为 v 的的边的数目。
出度：设有向图中有一结点 v ，其出度即为当前所有起点为 v ，指向其他结点的边的数目。
每次从入度为 0 的结点开始，加入队列。入度为 0 ，表示没有前置结点。
处理入度为 0 的结点，把这个结点指向的结点的入度 -1 。
再把新的入度为 0 的结点加入队列。
如果队列都处理完毕，但是和总结点数不符，说明有些结点形成环。
空间复杂度：O(N+e);
时间复杂度：O(N+e)。
2.2.2 该题的伪代码
bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites)
{
遍历边缘列表，计算入度；
有向无环DAG图的存储，使用邻接表；
for (auto v : prerequisites)
初始化入度列表
初始化邻接表
end for;
queue<int> que;
for auto i = 0 to i < inDegree.size()
将入度为 0 的结点放入队列
end for;
vector<int> ans;
while (!que.empty())
将入度为0的进行出队;
ans.push_back(q);
for (auto l : lst[q])
if --inDegree[l] == 0
将入度=0的node进队，直到队列为空，且入度都为0了
end if;
end for;
end while;
return ans.size() == numCourses;
}
2.2.3 运行结果
2.2.4分析该题目解题优势及难点。
优势点同样也是难点：对拓扑排序的引用。拓扑排序的算法简洁程度比BFS和DFS要好，但是在时间和空间复杂度上比较糟糕。
2.3 题目及解题代码
题目：
解题代码：
class Solution {
private:
static constexpr int mod = 1000000007;
public:
int numOfWays(int n) {
int fi0 = 6, fi1 = 6;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
int new_fi0 = (2LL * fi0 + 2LL * fi1) % mod;
int new_fi1 = (2LL * fi0 + 3LL * fi1) % mod;
fi0 = new_fi0;
fi1 = new_fi1;
}
return (fi0 + fi1) % mod;
}
};
2.3.1 该题的设计思路
本题，作者是应用数学公式来求符合该题条件的递推式；
经计算得到的递推式：
时间复杂度：O（N）；
空间复杂度：O（1）。
2.3.2 该题的伪代码
class Solution {
private:
static constexpr int mod = 1000000007;
public:
int numOfWays(int n) {
int fi0 = 6, fi1 = 6;
for i = 2 to i <= n
带入递推式求解；
fi0 = new_fi0;
fi1 = new_fi1;
end for;
return (fi0 + fi1) % mod;
}
};
2.3.3 运行结果
2.3.4分析该题目解题优势及难点。
优势点，同样也是难点：应用数学知识求解递推式，大大降低了时间和空间复杂度，在代码精简度方面自然也是不言而喻。
与用普通的递推求解相比，该题解（强到爆炸！！！）
下面是普通递推求解：
class Solution {
private:
static constexpr int mod = 1000000007;
public:
int numOfWays(int n) {
vector<int> types;
for (int i = 0; i < 3; ++i) {
for (int j = 0; j < 3; ++j) {
for (int k = 0; k < 3; ++k) {
if (i != j && j != k) {
types.push_back(i * 9 + j * 3 + k);
}
}
}
}
int type_cnt = types.size();
vector<vector<int>> related(type_cnt, vector<int>(type_cnt));
for (int i = 0; i < type_cnt; ++i) {
int x1 = types[i] / 9, x2 = types[i] / 3 % 3, x3 = types[i] % 3;
for (int j = 0; j < type_cnt; ++j) {
int y1 = types[j] / 9, y2 = types[j] / 3 % 3, y3 = types[j] % 3;
if (x1 != y1 && x2 != y2 && x3 != y3) {
related[i][j] = 1;
}
}
}
vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(type_cnt));
for (int i = 0; i < type_cnt; ++i) {
f[1][i] = 1;
}
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j < type_cnt; ++j) {
for (int k = 0; k < type_cnt; ++k) {
if (related[k][j]) {
f[i][j] += f[i - 1][k];
f[i][j] %= mod;
}
}
}
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i < type_cnt; ++i) {
ans += f[n][i];
ans %= mod;
}
return ans;
}
};
时间复杂度：O(NT2)；
空间复杂度：O(T2+TN)。
