平面及其方程

教学目的：介绍最简单也是非常这样的曲面——平面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础.

教学重点：1.平面的方程

          2.两平面的夹角

教学难点：平面的几种表示及其应用

教学内容：

一．平面的点法式方程

1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量.

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直.

2．平面的点法式方程

已知平面上的一点M₀(x₀,y₀,z₀)和它的一个法线向量n＝{A,B,C}，对平面上的任一点M(x,y,z)，有向量n，即

n

代入坐标式有：

         （1）

此即平面的点法式方程.

1.     例子：求过三点M₁（2，－1，4）、M₂（－1，3，－2）和M₃（0，2，3）的平面方程.

解：先找出这平面的法向量n，

     

     由点法式方程得平面方程为

 

即：                                   

二．平面的一般方程

     任一平面都可以用三元一次方程来表示.

平面的一般方程为：

 

几个平面图形特点：

二．  D＝0：通过原点的平面.

三．  A＝0：法线向量垂直与x轴，表示一个平行于x轴的平面.

同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面.

四．  A＝B＝0：方程为Cz＋D＝0，法线向量{0,0,C}，方程表示一个平行于xoy面的平面.

同理：Ax＋D＝0和By＋D＝0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面.

五．  反之：任何的三元一次方程，例如：5x＋6y－7z＋11＝0都表示一个平面，该平面的法向量为n＝{5,6,-7}

 

三．两平面的夹角

定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面.

      定曲线C：准线             动直线L：母线

 

四．几个常用的结论

    设平面1和平面2的法向量依次为n₁＝{A₁,B₁,C₁}和n₂＝{A₂,B₂,C₂}

两平面垂直：  （法向量垂直）

两平面平行：          （法向量平行）

平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P₀（x₀，y₀，z₀），平面的方程为 ，则点到平面的距离为

 

 

小结：平面是本书非常重要的一节，学生在学习时会各种平面的表示方法，了解平面与其法向量之间的关系等等.