视锥体（frustum）裁剪 求投影矩阵

视锥体（frustum），是指场景中摄像机的可见的一个锥体范围。它有上、下、左、右、近、远，共6个面组成。在视锥体内的景物可见，反之则不可见。为提高性能，只对其中与视锥体有交集的对象进行绘制。

视锥体

我们计算出视锥体六个面的空间平面方程，将点坐标分别代入六个面的平面方程做比较，则可以判断点是否在视锥体内。

空间平面方程可表示为：

    Ax+By+Cz=0

对于点（x1, y1, z1），有

若 Ax1+By1+Cz1 = 0,则点在平面上；
若 Ax1+By1+Cz1 < 0,则点在平面的一侧；
若 Ax1+By1+Cz1 = 0,则点在平面的另一侧；

求视锥平面系数¹

这里介绍的算法，可以直接从世界、观察以及投影矩阵中计算出Viewing Frustum的六个面。它快速，准确，并且允许我们在相机空间（camera space）、世界空间（world space）或着物体空间（object space）快速确定Frustum planes。

我们先仅仅从投影矩阵（project）开始，也就是假设世界矩阵（world）和观察矩阵（view）都是单位化了的矩阵。这就意味着相机位于世界坐标系下的原点，并且朝向Z轴的正方向。

定义一个顶点v（x y z w=1）和一个4*4的投影矩阵M=m（i,j），然后我们使用该矩阵M对顶点v进行转换，转换后的顶点为v'= (x' y' z' w')，可以写成这样：

转换后，viewing frustum实际上就变成了一个与轴平行的盒子，如果顶点 v' 在这个盒子里，那么转换前的顶点 v 就在转换前的viewing frustum里。在OpenGL下，如果下面的几个不等式都成立的话，那么 v' 就在这个盒子里。

   -w' < x' < w'
   -w' < y' < w'
   -w' < z' < w'

可得到如下结论，列在下表里：

我们假设现在想测试 x' 是否在左半边空间，只需判断

    -w < x'

用上面的信息，等式我们可以写成：

    −(v • row4 ) < (v • row1 )

    0 < (v • row4 ) + (v • row1 )

    0 < v • (row4 + row1 )

写到这里，其实已经等于描绘出了转换前的viewing frustum的左裁剪面的平面方程：

    x(m41 + m11) + y(m42 + m12) + z(m43 + m13) + w(m44 + m14) = 0

当W = 1，我们可简单成如下形式：

    x(m41 + m11) + y(m42 + m12) + z(m43 + m13) + (m44 + m14) = 0

这就给出了一个基本平面方程：

    ax + by + cz + d = 0

其中，a = ( m41 + m11) , b = ( m42 + m12 ), c = ( m43 + m13) , d = ( m44 + m14 )

到这里左裁剪面就得到了。重复以上几步，可推导出到其他的几个裁剪面，具体见参考文献1.

需要注意的是：最终得到的平面方程都是没有单位化的（平面的法向量不是单位向量），并且法向量指向空间的内部。这就是说，如果要判断 v 在空间内部，那么6个面必须都满足ax + by + cz + d > 0

到目前为止，我们都是假设世界矩阵( world )和观察矩阵( view )都是单位化了的矩阵。但是，本算法并不想受这种条件的限制，而是希望可以在任何条件下都能使用。实际上，这也并不复杂，并且简单得令人难以置信。如果你 仔细想一下就会立刻明白了，所以我们不再对此进行详细解释了，下面给出3个结论：

• 1. 如果矩阵 M 等于投影矩阵 P ( M = P )，那么算法给出的裁剪面是在相机空间（camera space）
• 2. 如果矩阵 M 等于观察矩阵 V 和投影矩阵 P 的组合( M = V * P )，那么算法给出的裁剪面是在世界空间（world space）
• 3. 如果矩阵 M 等于世界矩阵 W，观察矩阵 V 和投影矩阵 P 的组合( M = W* V * P )，呢么算法给出的裁剪面是在物体空间（object space）

判断节点是否在视锥内

通过各种包围体方法求出近似包围体，对包围体上的各个点对视锥六个面作判断，存在以下三种情况：

• 如果所有顶点都在视锥范围内，则待判区域一定在视锥范围内；
• 如果只有部分顶点在视锥范围内，则待判区域与视锥体相交，我们同样视为可见；
• 如果所有顶点都不在视锥范围内，那么待判区域很可能不可见了，但有一种情况例外，就是视锥体在长方体以内，这种情况我们要加以区分。

基于OpenGL实现

float g_frustumPlanes[6][4];

void calculateFrustumPlanes( void )
{
    float p[16];   // projection matrix
    float mv[16];  // model-view matrix
    float mvp[16]; // model-view-projection matrix
    float t;



    glGetFloatv( GL_PROJECTION_MATRIX, p );
    glGetFloatv( GL_MODELVIEW_MATRIX, mv );

    //
    // Concatenate the projection matrix and the model-view matrix to produce
    // a combined model-view-projection matrix.
    //

    mvp[ 0] = mv[ 0] * p[ 0] + mv[ 1] * p[ 4] + mv[ 2] * p[ 8] + mv[ 3] * p[12];
    mvp[ 1] = mv[ 0] * p[ 1] + mv[ 1] * p[ 5] + mv[ 2] * p[ 9] + mv[ 3] * p[13];
    mvp[ 2] = mv[ 0] * p[ 2] + mv[ 1] * p[ 6] + mv[ 2] * p[10] + mv[ 3] * p[14];
    mvp[ 3] = mv[ 0] * p[ 3] + mv[ 1] * p[ 7] + mv[ 2] * p[11] + mv[ 3] * p[15];

    mvp[ 4] = mv[ 4] * p[ 0] + mv[ 5] * p[ 4] + mv[ 6] * p[ 8] + mv[ 7] * p[12];
    mvp[ 5] = mv[ 4] * p[ 1] + mv[ 5] * p[ 5] + mv[ 6] * p[ 9] + mv[ 7] * p[13];
    mvp[ 6] = mv[ 4] * p[ 2] + mv[ 5] * p[ 6] + mv[ 6] * p[10] + mv[ 7] * p[14];
    mvp[ 7] = mv[ 4] * p[ 3] + mv[ 5] * p[ 7] + mv[ 6] * p[11] + mv[ 7] * p[15];

    mvp[ 8] = mv[ 8] * p[ 0] + mv[ 9] * p[ 4] + mv[10] * p[ 8] + mv[11] * p[12];
    mvp[ 9] = mv[ 8] * p[ 1] + mv[ 9] * p[ 5] + mv[10] * p[ 9] + mv[11] * p[13];
    mvp[10] = mv[ 8] * p[ 2] + mv[ 9] * p[ 6] + mv[10] * p[10] + mv[11] * p[14];
    mvp[11] = mv[ 8] * p[ 3] + mv[ 9] * p[ 7] + mv[10] * p[11] + mv[11] * p[15];

    mvp[12] = mv[12] * p[ 0] + mv[13] * p[ 4] + mv[14] * p[ 8] + mv[15] * p[12];
    mvp[13] = mv[12] * p[ 1] + mv[13] * p[ 5] + mv[14] * p[ 9] + mv[15] * p[13];
    mvp[14] = mv[12] * p[ 2] + mv[13] * p[ 6] + mv[14] * p[10] + mv[15] * p[14];
    mvp[15] = mv[12] * p[ 3] + mv[13] * p[ 7] + mv[14] * p[11] + mv[15] * p[15];



    //
    // Extract the frustum's right clipping plane and normalize it.
    //

    g_frustumPlanes[0][0] = mvp[ 3] - mvp[ 0];
    g_frustumPlanes[0][1] = mvp[ 7] - mvp[ 4];
    g_frustumPlanes[0][2] = mvp[11] - mvp[ 8];
    g_frustumPlanes[0][3] = mvp[15] - mvp[12];

    t = (float) sqrt( g_frustumPlanes[0][0] * g_frustumPlanes[0][0] +
                      g_frustumPlanes[0][1] * g_frustumPlanes[0][1] +
                      g_frustumPlanes[0][2] * g_frustumPlanes[0][2] );

    g_frustumPlanes[0][0] /= t;
    g_frustumPlanes[0][1] /= t;
    g_frustumPlanes[0][2] /= t;
    g_frustumPlanes[0][3] /= t;

    //
    // Extract the frustum's left clipping plane and normalize it.
    //

    g_frustumPlanes[1][0] = mvp[ 3] + mvp[ 0];
    g_frustumPlanes[1][1] = mvp[ 7] + mvp[ 4];
    g_frustumPlanes[1][2] = mvp[11] + mvp[ 8];
    g_frustumPlanes[1][3] = mvp[15] + mvp[12];

    t = (float) sqrt( g_frustumPlanes[1][0] * g_frustumPlanes[1][0] +
                      g_frustumPlanes[1][1] * g_frustumPlanes[1][1] +
                      g_frustumPlanes[1][2] * g_frustumPlanes[1][2] );

    g_frustumPlanes[1][0] /= t;
    g_frustumPlanes[1][1] /= t;
    g_frustumPlanes[1][2] /= t;
    g_frustumPlanes[1][3] /= t;



    //
    // Extract the frustum's bottom clipping plane and normalize it.
    //

    g_frustumPlanes[2][0] = mvp[ 3] + mvp[ 1];
    g_frustumPlanes[2][1] = mvp[ 7] + mvp[ 5];
    g_frustumPlanes[2][2] = mvp[11] + mvp[ 9];
    g_frustumPlanes[2][3] = mvp[15] + mvp[13];

    t = (float) sqrt( g_frustumPlanes[2][0] * g_frustumPlanes[2][0] +
                      g_frustumPlanes[2][1] * g_frustumPlanes[2][1] +
                      g_frustumPlanes[2][2] * g_frustumPlanes[2][2] );

    g_frustumPlanes[2][0] /= t;
    g_frustumPlanes[2][1] /= t;
    g_frustumPlanes[2][2] /= t;
    g_frustumPlanes[2][3] /= t;

    //
    // Extract the frustum's top clipping plane and normalize it.
    //

    g_frustumPlanes[3][0] = mvp[ 3] - mvp[ 1];
    g_frustumPlanes[3][1] = mvp[ 7] - mvp[ 5];
    g_frustumPlanes[3][2] = mvp[11] - mvp[ 9];
    g_frustumPlanes[3][3] = mvp[15] - mvp[13];

    t = (float) sqrt( g_frustumPlanes[3][0] * g_frustumPlanes[3][0] +
                      g_frustumPlanes[3][1] * g_frustumPlanes[3][1] +
                      g_frustumPlanes[3][2] * g_frustumPlanes[3][2] );

    g_frustumPlanes[3][0] /= t;
    g_frustumPlanes[3][1] /= t;
    g_frustumPlanes[3][2] /= t;
    g_frustumPlanes[3][3] /= t;



    //
    // Extract the frustum's far clipping plane and normalize it.
    //

    g_frustumPlanes[4][0] = mvp[ 3] - mvp[ 2];
    g_frustumPlanes[4][1] = mvp[ 7] - mvp[ 6];
    g_frustumPlanes[4][2] = mvp[11] - mvp[10];
    g_frustumPlanes[4][3] = mvp[15] - mvp[14];

    t = (float) sqrt( g_frustumPlanes[4][0] * g_frustumPlanes[4][0] +
                      g_frustumPlanes[4][1] * g_frustumPlanes[4][1] +
                      g_frustumPlanes[4][2] * g_frustumPlanes[4][2] );

    g_frustumPlanes[4][0] /= t;
    g_frustumPlanes[4][1] /= t;
    g_frustumPlanes[4][2] /= t;
    g_frustumPlanes[4][3] /= t;

    //
    // Extract the frustum's near clipping plane and normalize it.
    //

    g_frustumPlanes[5][0] = mvp[ 3] + mvp[ 2];
    g_frustumPlanes[5][1] = mvp[ 7] + mvp[ 6];
    g_frustumPlanes[5][2] = mvp[11] + mvp[10];
    g_frustumPlanes[5][3] = mvp[15] + mvp[14];

    t = (float) sqrt( g_frustumPlanes[5][0] * g_frustumPlanes[5][0] +
                      g_frustumPlanes[5][1] * g_frustumPlanes[5][1] +
                      g_frustumPlanes[5][2] * g_frustumPlanes[5][2] );

    g_frustumPlanes[5][0] /= t;
    g_frustumPlanes[5][1] /= t;
    g_frustumPlanes[5][2] /= t;
    g_frustumPlanes[5][3] /= t;

}

bool isBoundingSphereInFrustum( float x, float y, float z)
{
    for( int i = 0; i < 6; ++i )
    {
        if( g_frustumPlanes[i][0] * x +
            g_frustumPlanes[i][1] * y +
            g_frustumPlanes[i][2] * z +
            g_frustumPlanes[i][3] <= 0)
            return false;
    }

    return true;
}