[数据结构 - 第6章] 树之概念
一、树的定义
1.1 定义
树（Tree）是 n(n>=0) 个结点的有限集。 n=0 时称为空树。在任意一棵非空树中，有且仅有一个特定的称为根的结点。当 n>1 时，其余结点可分为 m (m>0) 个互不相交的有限集 T1、T2、……、Tm。其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree），如下图所示：
其中根结点 A 有两个子树：
1.2 节点分类
树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的的子树数称为结点的度。度为 0 的称为叶结点或者终端结点；度不为 0 的结点称为非终端结点或者分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。如下图所示，因为这棵树结点的度的最大值是结点 D 的度，为 3，所以树的度也为 3 。
1.3 结点间关系
结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent） 。同一个双亲的孩子之间互称兄弟。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。所以对于 H 来说，D、B、A 都是它的祖先 。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。B的子孙有 D、G、H、I，如下图所示：
1.4 结点的层次
结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。显然下图中的 D、E、F 是堂兄弟，而 G、H、丨、J 也是。树中结点的最大层次称为树的深度（depth），当前树的深度为4。
如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。
二、树的抽象数据类型
相对于线性结构，树的操作就完全不同了，这里我们给出一些基本和常用操作。
三、树的存储结构
我们这里要介绍三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟示法。
3.1 双亲表示法
我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在链表中的位置。也就是说，每个结点除了知道自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里。它的结点结构为下图所示：
其中 data 是数据域，存储结点的数据信息。而 parent 是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。以下是我们的双亲表示法的结点结构定义代码：
/* 树的双亲表示法的结点结构定义 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int ElemType; // 树结点的数据类型
typedef struct PTNode //结点结构
{
ElemType data;
int parent; // 父结点位置
}PTNode;
typedef struct // 树结构
{
PTNode nodes{MAX_TREE_SIZE};
int r, n; // 根结点位置,结点数
}Tree;
思路：由于根节点是没有双亲的，所以我们约定根节点的指针域设置为 -1。这也意味着我们所有节点都存有它双亲的位置。树结构和树双亲表示法如下所示：
这样的存储结构，我们可以根据结点的 parent 指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为 〇(1)，直到 parent 为 -1 时，表示找到了树结点的根。
总结
优点：该存储方式根据结点的 parent 指针很容易找到它的双亲结点，时间复杂度为 O(1)。
缺点：如果需要知道某个结点的所有孩子，需要遍历整棵树。
3.2 孩子表示法
仔细观察，我们为了要遍历整棵树，把每个结点放到一个顺序存储结构的数组中是合理的，但每个结点的孩子有多少是不确定的，所以我们再对每个结点的孩子建立一个单链表体现它们的关系。
这就是我们要讲的孩子表示法。具体办法是，把每个结点的孩子结点排列起来， 以单链表作存储结构，则 n 个结点有 n 个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后 n 个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中，如下图所示：
为此，设计两种结点结构，一个是孩子链表的孩子结点，如下图所示。
其中 child 是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标。next 是指针域，用来存储指向某结点的下一个孩子结点的指针。另一个是表头数组的表头结点，如下图所示：
其中 data 是数据域，存储某结点的数据信息。firstchild 是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。
以下是我们的孩子表示法的结构定义代码：
/* 树的孩子表示法结构定义 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType;
typedef struct CTNode //子结点结构
{
struct CTNode *next;
int child;
}CTNode, *ChildPtr;
typedef struct //表头结构
{
TElemType data;
ChildPtr firstchild;
}CTChain;
typedef struct //树结构
{
CTChain nodes{ MAX_TREE_SIZE };
int r, n; //根结点位置,结点数
}Tree;
总结
缺点： 如果需要知道某个结点的双亲，需要遍历整棵树
改进：孩子兄弟表示法
3.3 孩子兄弟表示法
刚才我们分别从双亲的角度和从孩子的角度研究树的存储结构，如果我们从树结点的兄弟的角度又会如何呢？当然，对于树这样的层级结构来说，只研究结点的兄弟是不行的，我们观察后发现，任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。
结点结构如下图所示：
其中 data 是数据域，firstchild 为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib 是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。
孩子兄弟表示法的结构定义代码如下：
/* 树的孩子兄弟表示法结构定义 */
typedef struct CSNode
{
TElemType data;
struct CSNode *fristchild, *rightsib;
} CSNode, *CSTree;
这种方法实现的示意图如下图所示。
这种表示法，给查找某个结点的某个孩子带来了方便，只需要通过 fistchild 找到此结点的长子，然后再通过长子结点的 rightsib 找到它的二弟，接着一直下去，直到找到具体的孩子。当然，如果想找某个结点的双亲，完全可以再增加一个 parent 指针域来解决快速查找双亲的问题，这里就不再细谈了。
总结
优点： 可以把一棵复杂的树变成一棵二叉树，这样就可以充分利用二叉树的特性和算法来处理这棵树了。
参考：
《大话数据结构 - 第6章》 树
