时间复杂度一招鲜之大O渐近表示法

目录

时间复杂度

1.算法效率

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

2.2 大O的渐进表示法

2.3常见时间复杂度计算举例

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时间复杂度

1.算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被

称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额

外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的

迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复

杂度。

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个 算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但 是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方 式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复 杂度。

2.2 大O的渐进表示法

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
void func1(int N){
  int count = 0;
  for (int i = 0; i < N ; i++) {
      for (int j = 0; j < N ; j++) {
          count++;
      }
  }
  for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
      count++;
  }
  int M = 10;
 while ((M--) > 0) {
      count++;
  }
  System.out.println(count);
}

Func1 执行的基本操作次数 ：

N = 10 F(N) = 130

N = 100 F(N) = 10210

N = 1000 F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要 大概执行次数，那么这里 我 们使用大 O 的渐进表示法。

大 O 符号（ Big O notation ）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大 O 阶方法：

1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。

2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。

使用大 O 的渐进表示法以后， Func1 的时间复杂度为：

N = 10 F(N) = 100

N = 100 F(N) = 10000

N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法 去掉了那些对结果影响不大的项 ，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 )

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 )

例如：在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x

最好情况： 1 次找到

最坏情况： N 次找到

平均情况： N/2 次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为 O(N)

2.3常见时间复杂度计算举例

实例 1 ：

// 计算func2的时间复杂度？
void func2(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
  count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
  count++;
}
System.out.println(count);
}

实例2 ：

// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {
  count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {
  count++;
}
System.out.println(count);
}

实例3 ：

// 计算func4的时间复杂度？
void func4(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; k++) {
  count++;
}
System.out.println(count);
}

实例4 ：

// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
  for (int end = array.length; end > 0; end--) {
      boolean sorted = true;
      for (int i = 1; i < end; i++) {
          if (array[i - 1] > array[i]) {
  Swap(array, i - 1, i);
              sorted = false;
          }
      }
      if (sorted == true) {
          break;
      }
  }
}

实例5

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
  int begin = 0;
  int end = array.length - 1;
  while (begin <= end) {
      int mid = begin + ((end-begin) / 2);
      if (array[mid] < value)
          begin = mid + 1;
      else if (array[mid] > value)
          end = mid - 1;
      else
          return mid;
  }
  return -1;
}

实例答案及分析：

1. 实例 1 基本操作执行了 2N+10 次，通过推导大 O 阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

2. 实例 2 基本操作执行了 M+N 次，有两个未知数 M 和 N ，时间复杂度为 O(N+M)

3. 实例 3 基本操作执行了 100 次，通过推导大 O 阶方法，时间复杂度为 O(1)            

4. 实例 4 基本操作执行最好 N 次，最坏执行了 (N*(N-1))/2 次，通过推导大 O 阶方法 + 时间复杂度一般看最坏， 时间复杂度为 O(N^2)

5. 实例 5 基本操作执行最好 1 次，最坏 O(logN) 次，时间复杂度为 O(logN) ps ： logN 在算法分析中表示是底数

为 2 ，对数为 N 。有些地方会写成 lgN 。（建议通过折纸查找的方式讲解 logN 是怎么计算出来的） ( 因为二

分查找每次排除掉一半的不适合值 , 一次二分剩下： n/2 两次二分剩下： n/2/2 = n/4)