LeetCode51. N皇后

题意是给定一个N × N大小的棋盘，求不同的N皇后方案的个数。N皇后的方案指，N个皇后放在棋盘上，互相不能攻击到。

国际象棋里，皇后可以横竖斜走若干步，所以一个方案是合法的，必须满足任意一个皇后所在的行、列、对角线、斜对角线都没有其他皇后。
我们要求的就是这样的方案的个数。

由于每行只能放一个皇后，所以我们可以按照行来搜索方案（当然按列或者对角线/斜对角线也可，不过按行来搜索代码比较好写），
要满足互相不攻击的条件，我们在搜索每一行的时候，都需要枚举这一行可以放皇后的位置，可以放皇后的条件就是：
当前位置的列、对角线、斜对角线上都没有其他皇后，只要满足这个条件，就可以在当前位置放一个皇后，然后继续搜索下一行。

所以显然这就是一个DFS + 回溯，DFS结束的条件就是搜索到了最后一行（的下一个位置），也就是找到一个每一行都可以放下一个皇后且不冲突的方案。
这时就在结果数组里记录下方案数。当DFS(0)执行结束（表示从第0行开始递归搜索所有解方案）时，我们就找到了所有的方案。

这里的关键就是如何判断当前要判断的位置是否冲突，如何判断这个位置所在的列、对角线、斜对角线上是否有其他皇后呢？

如上图所示，红色线为列，绿色线为斜对角线，紫色线为对角线。

对于列，其实很好判断，只要开一个大小为n的bool数组，记录每一列上是否已有皇后即可。

对于斜对角线（这里认为对角线是棋盘从左上到右下的斜线）的判断，我们可以寻找规律，我们把棋盘从上向下作为横坐标x，从左到右作为纵坐标y。
首先可以发现一共有2 * n - 1条对角线，对于每一条斜对角线，都有一个y = x + k的形式，比如最中间的斜对角线（即棋盘左上角到右下角的斜对角线
就满足方程y=x)，移项得到k = y - x（即k等于列号减去行号）,所以k是斜对角线在x轴的截距，
所以我们可以根据截距k来判断当前位置属于哪一条斜对角线，从k = y - x这个公式可以看出，
k有可能为负数（截距k在x轴负半轴），我们可以给所有截距都加上一个n，将截距k变为正数。

对于对角线（这里认为斜对角线是棋盘从右上到左下的斜线）的判断，可以发现规律，对角线都满足方程x + y = k（这里的k不是斜对角线的k了），
所以我们可以直接根据x + y的值（即行和列的和）来判断当前位置属于哪个对角线。

所以按行搜索的时候，对于每一行的所有位置我们都枚举一遍，看看每个位置上所在的列、对角线、斜对角线上是否都没有其他皇后了，
如果没有，说明当前位置可以放皇后，就先放一个皇后，然后递归再搜索下一行，直到搜索到最后一行（的下一个位置）或者枚举完所有的位置，
表示找到可行的方案或者找不到。

代码如下：

class Solution {
vector<vector<string>> res;            //结果数组，保存所有可行方案的棋盘
vector<string> oneSolution;            //记录一个可行方案
int n;                                 //n是棋盘大小，这里要记录到一个全局变量里，方便对于下面三个数组以及上面的oneSolution数组大小的初始化
vector<bool> cols, diagram, anti_diagram;      //分别判断列、对角线、斜对角线上是否有皇后
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int _n) {
        n = _n;
        cols = vector<bool>(n);                 //把n记录到全局变量里，就是为了这里给四个数组赋予一定大小
        diagram = anti_diagram = vector<bool>(2 * n);            //对角线和斜对角线分别由2 * n - 1条
        oneSolution = vector<string>(n, string(n, '.'));         //最开始令棋盘全部为'.'
        DFS(0);                                    //从第0行开始搜索
        return res;
    }
    void DFS(int curRow) {                        //传入参数curRow表示当前正在搜索的行
        if(curRow == n) {                         //如果搜索到最后一行的下一个位置，表示找到了一个可行解
            res.push_back(oneSolution);           //记录当前棋盘
            return ;
        }
        for(int i = 0; i < n; ++i) {              //搜索当前行的所有列，判断是否可以放置皇后（即不产生冲突）
            if(cols[i] == false && diagram[curRow - i + n] == false && anti_diagram[curRow + i] == false) {   //如果当前位置所在列、对角线、斜对角线上都没有皇后，则可以在当前位置放一个皇后
                cols[i] = diagram[curRow - i + n] = anti_diagram[curRow + i] = true;     //搜索下一行之前，需要先记录当前列、对角线、斜对角线上已经有皇后
                oneSolution[curRow][i] = 'Q';       //“放皇后”，在棋盘上将'.'修改为'Q'
                DFS(curRow + 1);                    //继续搜索下一行
                oneSolution[curRow][i] = '.';       //DFS回溯要恢复现场，且一定和DFS之前的操作是对称的，之前将当前位置改为'Q'，现在要改回去
                cols[i] = diagram[curRow - i + n] = anti_diagram[curRow + i] = false;      //还要修改当前列、对角线、斜对角线的状态为没有皇后
            }
        }
    }
};