【OD真题】中秋分月饼

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题目描述
中秋节，公司分月饼，m个员工，买了n个月饼，m<=n，每个员工至少分1个月饼，但可以分多个，单人分到最多月饼的个数是Max1，单人分到第二多月饼个数是Max2，Max1-Max2<=3，单人分到第n-1多月饼个数是Max(n-1)，单人分到第n多月饼个数是Max(n)，Max(n-1)-Max(n)<=3问有多少种分月饼的方法?

• 递归＋回溯

public static int divide(int n, int m) {
	int[] arr = new int[m];
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		arr[i] = 1;
	}
	if (n == m){
		return 1;
	}
	return backtrack(m, n-m, 0, arr);
}

private static int backtrack(int m, int k, int index, int[] arr) {
	// 每个人都分配好了月饼时，看月饼是否分配完
	if (index == m) {
		if (k == 0){
			return 1;
		} else if (k > 0) {
			return 0;
		}else {
			return 0;// k没有小于0的情况
		}
	}
	// 月饼提前分配完，看是否满足差额限制
	if (k == 0){
		if (arr[index] >= arr[index - 1]-3){
			return 1;
		}else {
			return 0;
		}
	}
	int result =0;
	// 还剩k个月饼要分配，已经分到index位置
	for (int i = 1; i <= k; i++) {
		int value = arr[index] + i;
		// 当前位置，分配i个月饼满足条件则继续下个位置，否则直接返回0
		if (index==0 || (index>0 && arr[index - 1] >= value && value >= arr[index - 1]-3)){
			arr[index] += i;
			// 递归
			result += backtrack(m, k-i, index+1, arr);
			// 回溯
			arr[index] -= i;
		}
	}
	return result;
}

• 动态规划

public static int divide2(int n, int m) {
	int K = n-m;
	int[][][] dp = new int[K+1][m+1][K+1];
	for (int i = 0; i < K+1; i++) {
		// 只有一个人时，月饼全部分给这个人是一种方案
		dp[i][1][i] = 1;
	}
	for (int i = 1; i <= K; i++) {
		for (int j = 2; j <= m; j++) {
			// 枚举最后一个员工分到的月饼数量
			for (int k = 0; k <= i; k++) {
				// 因为相同分配方案只是顺序不一样，也认为是同一个，所以我们假设分配结果中，员工获得月饼数是递减的
				// 如果第j位员工获取k个月饼，那么第j-1个员工的月饼数只能是k,k+1,k+2,k+3这四种情况
				dp[i][j][k] = dp[i - k][j - 1][k];
				if (k+1<K+1){
					dp[i][j][k] += dp[i - k][j - 1][k+1];
				}
				if (k+2<K+1){
					dp[i][j][k] += dp[i - k][j - 1][k+2];
				}
				if (k+3<K+1){
					dp[i][j][k] += dp[i - k][j - 1][k+3];
				}
			}
		}
	}
	return Arrays.stream(dp[K][m]).sum();
}