为什么我们需要补码

补码的产生和硬件的设计脱离不了干系，当然这也是为什么在硬件课上才会讲这个的原因。

这里我们阐述一下问题，以及它的背景
问题：我们要做一个能做加法和减法的计算器，但是要能用电子器件做。
限制：
1、这个计算器要元器件尽可能的少，不然太多散热不行
2、物理上，电子器件的基础操作非常简单，粗略的理解就是只能看有电没电，也只能做有电到没电，或者没电到有电的转换。
3、数学上，由于电子器件的基本操作的限制，那么由他所构成的数学运算得基于二进制，而且只能将就着进行一些基本的位运算（移位，与或非）

解决办法1：
这里我们很直白的使用一个符号位表示正负，用剩下的表示数值。然后再做一个加法器，一个减法器。
这样做很简洁直白，但是问题也非常多，比如：
（1）一个加法器，一个减法器，零件太多，散热不行，而且也没法做小
（2）要分的情况太多，正数+正数，负数+负数，正数-正数，负数-负数，而且这些都得先看了符号位，再看大小才能进行下一步，步骤太多，拖累整体运算速度。
比如，正数-正数，要先看这两者大小，然后才能决定结果的正负。负数-负数同理

解决办法2：
这里也不知道从哪里捡起来的东西解决的，不过总之这里有个很神奇的方法可以优化。
（这里只是叙述这个方法为什么有效，至于这个方法是怎么从灵感一步一步变化到真正的解决办法，我还真没有看到过。如果有人来补充，都很欢迎）
1、A-B=A+（-B）
2、同模之下，一个数等于它加上模数，那么

（A-B）mod M = （A-B+M）modM
3 - 2 mod 5 = （3-2+5）mod 5 = 6 mod 5 = 1

4、使用2进制表述法时，计算机都有限制过电路最大支持位数n，但是我们还得再表示正负，那么就得拿出来最开头的1位来表示正负，剩下n-1位表示数的绝对值。
同时结合前面的取模运算，这里2的n次方可以视为电路数学里的模数M。

5、在二进制下，以2的n次方为模时，负数的补码，可以这么计算-110 1100的补码

[-110 1100] = 1 0000 0000 - 110 1100
= 1000 000 + 1000 000 - 110 1100
= 1000 000 + (111 1111 - 110 1100) + 1
= (1000 000 + 001 0011 + 1 )mod (1 0000 0000)
= 1001 0100
这么麻烦的步骤，我们直接看结论，粗暴的优化下来的话，负数的补码就是：符号位不动，剩下的位数取反再+1。

6、整个流程数下来，我们做的就是，拿来一个负数，符号位不动，剩下取反再+1，然后跟另一个任意数相加，就得到结果了。
整个过程用到的只有加法，还有取反操作，这样就可以用加法器模拟减法器了。省心又省力
当然这里会有溢出现象，这种现象是由于得到的结果超过mod 模数上限，所以得到的只有截断之后剩下的部分。对于这个，硬件会再加一根信号线表述溢出的。

这里的讲解，只是从另一个更让我容易理解的角度接受了补码。它并没有启发我，也没有告诉我补码这么复杂的东西，它最开始的灵感是什么更加简约的东西，所以后面我会想办法再考证补充一下它的灵感来源。