ACM学习笔记：图的连通性

title : 图的连通性
date : 2021-8-10
tags : ACM,图论,连通性

 

强连通分量（SCC）

有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。

缩点

将有向有环图中的环缩成一个个点，形成一个有向无环图。

第一步是要找环，使用tarjan算法dfs遍历整个图，用栈来保存当前所在路径上的所有点，一旦无法往下走就退栈并增加连通分量。

//luoguP3387 【模板】缩点
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int maxn=10005;
int n,m,u,v,a[maxn];
int tot,head[maxn];//tot,head用于链式前向星 
int idx,bel[maxn],dfn[maxn],low[maxn];
//idx为当前时间戳,bel为连通分量,dfn为点的访问时间,low(u)为分量最早的访问时间 
int stk[maxn],top,vis[maxn]; //stk为手写栈，top为栈顶，vis标记访问 
int ru[maxn],dist[maxn];
//ru为入度，dist[i]为以i为终点的最大点权 
​
struct E{
    int to,next,from;
}e[maxn*10];
​
vector<int>G[maxn]; //存放缩点后的图，便于区分 
​
void addedge(int x,int y){ //链式前向星建初始图 
    e[++tot].next=head[x];
    e[tot].from=x;
    e[tot].to=y;
    head[x]=tot;
}
​
void tarjan(int x){
    low[x]=dfn[x]=++idx; //时间戳和最早时间 
    stk[++top]=x; //入栈 
    vis[x]=1;//标记已经访问 
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){ 
        int v=e[i].to;
        if(!dfn[v]){ //如果没访问过下一个节点 
            tarjan(v); //访问下一个节点 
            low[x]=min(low[x],low[v]); //如果形成环，承接下一个节点的最早时间 
        }else if(vis[v]){ //如果已经访问过下一个节点 
            low[x]=min(low[x],low[v]); //这貌似是有争议的地方 
        }
    }
    if(dfn[x]==low[x]){ //x是一个连通分量 
        int y;
        while(y=stk[top--]){ //访问的元素出栈 
            bel[y]=x; //y属于连通分量x 
            vis[y]=0; //这句话少了就50分,想一想蝴蝶结的情况就知道啦 
            if(x==y) break; 
            a[x]+=a[y]; //在本题中缩点后把点权相加 
        }
    }
}
​
int topo(){ //拓扑排序 
    queue<int>q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(bel[i]==i&&!ru[i]){ //如果该点是连通分量并且入度为0 
            q.push(i);
            dist[i]=a[i]; //记录该点为终点的点权之和 
        }
    }
    while(!q.empty()){
        int fro=q.front();q.pop();
        for(int i=0;i<G[fro].size();i++){
            int to=G[fro][i];
            dist[to]=max(dist[to],dist[fro]+a[to]);
            ru[to]--;
            if(!ru[to]) q.push(to); //入度为0的点入队 
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dist[i]); //记录答案 
    return ans;
}
​
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>u>>v; 
addedge(u,v); //建单向边 
    }
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i]) tarjan(i); //tarjan缩点 
    }
for(int i=1;i<=m;i++){ //对于每条边 
int x=bel[e[i].from],y=bel[e[i].to];
if(x!=y){ //如果处于不同的连通分量，则建边
G[x].push_back(y); 
ru[y]++;
    }
    }
printf("%d",topo());
return 0;
}

割点

无向连通图中，某点和连接点的边去掉后，图不再连通。

在tarjan中，对于某一个顶点u，如果存在至少一个顶点v(u的儿子)，使得low[v]>=dfn[u]，即不能回到祖先，那么u点为割点。

判断割点的两个条件：

①x是根节点并且度数>1

②x不是根节点并且dfn[x]<=low[y]，y为x的儿子

void tarjan(int x){ //求割点
    dfn[x]=low[x]=++num;
    int col=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        int y=e[i].to;
        if(!dfn[y]){
            col++;
            tarjan(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
            if((x==root&&col>1)||(x!=root&&dfn[x]<=low[y]))
                is[x]=1;//这个点是割点
        }else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
}

桥（割边）

无向连通图中，去掉一条边，图中的连通分量数增加，则这条边，称为桥或者割边。

void tarjan(int x){ //求桥
    dfn[x]=low[x]=++idx;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        if(i==f[x]^1) continue;//反向边跳过
        int v=e[i].to;
        if(!dfn[v]){
            f[v]=i;
            tarjan(v);
            low[x]=min(low[x],low[v]);
            if(low[v]>dfn[x]) ans++,cut[i]=cut[i^1]=1;//桥
        }else low[x]=min(low[x],dfn[v]);
    }
}

 

 

双连通分量(BCC)

边双连通

若一个无向图中的去掉任意一条边都不会改变此图的连通性，即不存在桥，则称作边双连通图。

点双连通

若一个无向图中的去掉任意一个节点都不会改变此图的连通性，即不存在割点，则称作点双连通图。

 

参考资料

https://blog.csdn.net/acmmmm/article/details/16361033

https://www.luogu.com.cn/blog/juruohyfhaha/post-ti-xie-su-dian

https://www.cnblogs.com/ljy-endl/p/11595161.html