The Euler function（欧拉函数筛）

这题用欧拉函数会超时，要用函数筛。

解析：（转）

定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

　　　　例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p)= p-1.

　　　2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

　　　3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).

　　根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

　　E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

　　　　= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

　　　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);

 

L - The Euler function

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Description

The Euler function phi is an important kind of function in number theory, (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics. Here comes a very easy question: suppose you are given a, b, try to calculate (a)+ (a+1)+....+ (b)

 

Input

There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).

 

Output

Output the result of (a)+ (a+1)+....+ (b)

 

Sample Input

3 100

 

Sample Output

3042

 

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF 3000005
int target[INF],phi[INF];
bool pri[INF];
void prime()//欧拉数筛
{
    int i,j=0,cot=0;
    for(i=2;i<INF;i++)//循环每个数
    {
        if(pri[i]==false)//当前这个数是置否的
        {
            target[cot++]=i;//加入素数数组
            phi[i]=i-1;//将质数加入欧拉函数数组，因为没有其他的数是他的因子了，所以他的欧拉函数就是i-1
        }
        for(j=0;j<cot&&i*target[j]<INF;j++)//循环质数
        {
            pri[i*target[j]]=true;//所有质数乘以当前倍数的值置真
            if(i%target[j]==0)//循环判断当前这个数i的质因子有哪些，一次计算一个乘法
                phi[i*target[j]]=phi[i]*target[j];
            else
                phi[i*target[j]]=phi[i]*(target[j]-1);//结束的时候乘以质数减一
        }
    }
}
int main()
{
    int i,j,m,n,a,b;
    long long sum;
    prime();
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    {
        sum=0;
        for(i=a;i<=b;i++)
            sum+=phi[i];
        printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}