扩展欧几里得算法

首先、扩展欧几里得定理:对于两个不全为0的整数a、b,必存在一组解x,y,使得ax+by==gcd(a,b);

int gcd(int a,int b)
{
    int t,d;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;   //不明处1
return a;
    }
    d=gcd(b,a%b);
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;  //不明处2
return d;
}

x y 用全局变量表示

 

不明处1:由扩展欧几里得定理:ax+by==gcd(a,b)---式1,而此时b==0,也就是说gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a --> x==1,y==0。应该够清楚了吧

 

不明处2:这里先说明一下我的一些规则,x,y表示第一次递归时的值,x1,y1表示第二次递归时的值。那么

gcd(a,b)==gcd(b,a%b),同时都代入式1,有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。将右边变形一下

b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1),最终得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)

也就是说,上一深度的x等于下一深度的y1,上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。    需要注意,上面推导时用的除法都是整型除法

 

那么对于一般的不定式ax+by==c,它的解应该是什么呢。很简单,x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))。

 

扩展的欧几里得(EXTENDED-EUCLID)
 
一、假设:
     对于给定的整数a和b,它们满足方程:ax+by=d=gcd(a,b),求出整系数x,y
 
二、推理:

    ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx+(a-(int)a/b*b)y=ay+b(x-(a-(int)a/b*y)


三、扩展的欧几里得算法:
复制代码
 1 int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
2 {
3 int ret, tmp;
4 if (!b) {
5 x = 1; y = 0; return a;
6 }
7 ret = extended_gcd(b, a % b, x, y);
8 tmp = x;
9 x = y;
10 y = tmp - a / b * y;
11 return ret;
12 }
复制代码
 
四、应用:
     1、求解模线性方程:ax≡b (mod n)
        定理一:设d=gcd(a,n),用扩展欧几里得算法解线性方程 ax'+ny'=d.如果d|b,则方程axºb(mod n)有一个解的值x0=x'(b/d)mod n
        定理二:方程axºb(mod n)有解(即存在d|b,其中d=gcd(a,n)),x0是该方程的任意一个解,则该方程对模n恰有d个不同的解,分别为
                     x(i)=x(0)+i(n/d)(i=1,2,...d-1)
        
         //用扩展欧几里得解模线性方程ax=b (mod n)
      
复制代码
bool modularLinearEquation(int a,int b,int n)
{
int x,y,x0,i;
int d=Extended_Euclid(a,n,x,y); //ax=b (mod n) 等价于ax+ny=b
if(b%d)
return false;
x0=x*(b/d)%n;
for(i=1;i<=d;i++)
printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
return true;
}
复制代码


     2、求乘法逆元:ax≡1(mod n)
          ax≡1(mod n)等价于 ax+ny=1=gcd(a,n),调用extended_gcd(a,n,x,y),并当公约数ret=1(a,n互为质数,ret一定等于1)时,
          当x>0时,x即为a的乘法逆元。当x<0时,将x转换为mod n的最小正整数即可:
    while(x<0)
      x+=n;
     注:Java中没有指针,不能向C/C++这样调用;而C/C++可以使用指针或引用传出形参x,这个特性,使C/C++函数能返回多个值,而
     Java方法最多只能返回一个值。那么在Java版本的实现中,可以将这里的x定义为一个类变量(static),这样就可以获取x的值了。
posted @ 2015-10-27 16:10  啦咯  阅读(767)  评论(0编辑  收藏  举报