POJ3233 构造子矩阵+矩阵快速幂

题意：给你矩阵A，求S=A+A^1+A^2+...+A^n

 

sol：直接把每一项解出来显然是不行的，也没必要。

我们可以YY一个矩阵：

其中1表示单位矩阵

 

然后容易得到：

可以看出这个分块矩阵的左下角那块就可以得到要求的解S

我们取这一块，再减去一个单位矩阵1即可。

为了保持右下角一直是1，所以右上的位置必须是0，由于需要不断移位，所以1是必要的，A是必要的，所以第一列保证移位，

第二列保证保留1，因此我们能成功构造出....

这个题还可以根据等比矩阵的性质来进行求解...后面补(x

 

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>
using namespace std;

int n,k,mod;
typedef long long ll;
struct matrix{
    int row,col,ele[32][32];
    matrix(){};
    matrix(int row,int col):row(row),col(col){
        memset(ele,0,sizeof(ele));
    }
    void init(){
        row=col=n;memset(ele,0,sizeof(ele));
        for(int i=0;i<n;++i) ele[i][i]=1;
    }
    void clear(){
        row=col=n;
        memset(ele,0,sizeof(ele));
    }
    matrix operator *(const matrix& rhs){
        if(col!=rhs.row) printf("Exception...\n");
        matrix c=matrix(row,rhs.col);
        for(int i=0;i<row;i++)
            for(int k=0;k<col;++k)
                for(int j=0;j<rhs.col;++j)
                    c.ele[i][j]=(c.ele[i][j]+ele[i][k]*rhs.ele[k][j])%mod;
        return c;
    }
    matrix operator +(const matrix &rhs){
        if(row!=rhs.row||col!=rhs.col) printf("+ Exception\n");
        matrix c=matrix(row,col);
        for(int i=0;i<row;++i)
            for(int j=0;j<col;++j)
                c.ele[i][j]=(c.ele[i][j]+ele[i][j]+rhs.ele[i][j])%mod;
        return c;
    }
    void print(){
        for(int  i=0;i<row;++i){
            for(int j=0;j<col;++j)
                printf("%d ",ele[i][j]);
            printf("\n");
        }
    }
};
struct bigMatrix{
    int row,col;matrix ele[5][5];
    bigMatrix(){};
    bigMatrix(int row,int col):row(row),col(col){
        for(int i=0;i<row;++i)
            for(int j=0;j<col;++j) ele[i][j].clear();
    }
    void init(){
        row=col=2;
        for(int i=0;i<row;++i)
            for(int j=0;j<col;++j) ele[i][j].clear();
        for(int i=0;i<row;++i) ele[i][i].init();
    }
    bigMatrix operator *(const bigMatrix& rhs){
        if(col!=rhs.row) printf("Exception...\n");
        bigMatrix c=bigMatrix(row,rhs.col);
        for(int i=0;i<row;i++)
            for(int k=0;k<col;++k)
                for(int j=0;j<rhs.col;++j)
                    c.ele[i][j]=(c.ele[i][j]+ele[i][k]*rhs.ele[k][j]);
        return c;
    }
};
bigMatrix fastpow(bigMatrix a,ll b){
    bigMatrix ans;ans.init();
    // printf("%d %d %d %d\n",a.row,a.col,ans.row,ans.col);
    if(b==0) return ans;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)){
        matrix A=matrix(n,n);
        for(int i=0;i<n;++i){
            for(int j=0;j<n;++j){
                scanf("%d",&A.ele[i][j]);
                A.ele[i][j]%=mod;
            }
        }
        bigMatrix mat=bigMatrix(2,2);
        matrix t=matrix(n,n);t.init();
        mat.ele[0][0]=A;mat.ele[0][1]=matrix(n,n);
        mat.ele[1][0]=t;mat.ele[1][1]=t;
        bigMatrix d=fastpow(mat,k+1);
        matrix B=d.ele[1][0];
        for(int i=0;i<n;++i) B.ele[i][i]=(B.ele[i][i]-1+mod)%mod;
        for(int i=0;i<n;++i){
            printf("%d",B.ele[i][0]);
            for(int j=1;j<n;++j){
                printf(" %d",B.ele[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}