期望、方差、协方差及相关系数的基本运算

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这篇文章总结了概率统计中期望、方差、协方差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。

期望

定义

设P(x)P(x)是一个离散概率分布函数，自变量的取值范围为{x1,x2,⋯,xn}{x1,x2,⋯,xn}。其期望被定义为：

 

E(x)=∑k=1nxkP(xk)E(x)=∑k=1nxkP(xk)

 

设p(x)p(x)是一个连续概率密度函数。其期望为：

 

E(x)=∫+∞−∞xp(x)dxE(x)=∫−∞+∞xp(x)dx

 

性质

1、线性运算规则

期望服从线性性质（可以很容易从期望的定义公式中导出）。因此线性运算的期望等于期望的线性运算：

 

E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+cE(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+c

 

这个性质可以推广到任意一般情况：

 

E(∑k=1naixi+c)=∑k=1naiE(xi)+cE(∑k=1naixi+c)=∑k=1naiE(xi)+c

 

2、函数的期望

设f(x)f(x)为x的函数，则f(x)f(x)的期望为：

离散：

 

E(f(x))=∑k=1nf(xk)P(xk)E(f(x))=∑k=1nf(xk)P(xk)

 

连续：

 

E(f(x))=∫+∞−∞f(x)p(x)dxE(f(x))=∫−∞+∞f(x)p(x)dx

 

一定要注意，函数的期望不等于期望的函数，即E(f(x))≠f(E(x))E(f(x))≠f(E(x))！。

3、乘积的期望

一般来说，乘积的期望不等于期望的乘积，除非变量相互独立。因此，如果x和y相互独立，则E(xy)=E(x)E(y)E(xy)=E(x)E(y)。

期望的运算构成了统计量的运算基础，因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望。

方差

定义

方差是一种特殊的期望，被定义为：

 

Var(x)=E((x−E(x))2)Var(x)=E((x−E(x))2)

 

性质

1、展开表示

反复利用期望的线性性质，可以算出方差的另一种表示形式：

 

Var(x)=====E((x−E(x))2)E(x2−2xE(x)+(E(x))2)E(x2)−2E(x)E(x)+(E(x))2E(x2)−2(E(x))2+(E(x))2E(x2)−(E(x))2Var(x)=E((x−E(x))2)=E(x2−2xE(x)+(E(x))2)=E(x2)−2E(x)E(x)+(E(x))2=E(x2)−2(E(x))2+(E(x))2=E(x2)−(E(x))2

 

2、常数的方差

常数的方差为0，由方差的展开表示很容易推得。

3、线性组合的方差

方差不满足线性性质，两个变量的线性组合方差计算方法如下：

 

Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)+2Cov(x,y)Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)+2Cov(x,y)

 

其中Cov(x,y)Cov(x,y)为x和y的协方差，下一节讨论。

4、独立变量的方差

如果两个变量相互独立，则：

 

Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)

 

作为推论，如果x和y相互独立：Var(x+y)=Var(x)+Var(y)Var(x+y)=Var(x)+Var(y)。

协方差

定义

两个随机变量的协方差被定义为：

 

Cov(x,y)=E((x−E(x))(y−E(y)))Cov(x,y)=E((x−E(x))(y−E(y)))

 

因此方差是一种特殊的协方差。当x=y时，Cov(x,y)=Var(x)=Var(y)Cov(x,y)=Var(x)=Var(y)。

性质

1、独立变量的协方差

独立变量的协方差为0，可以由协方差公式推导出。

2、线性组合的协方差

协方差最重要的性质如下：

 

Cov(∑i=1maixi,∑j=1nbjyj)=∑i=1m∑j=1naibjCov(xi,yj)Cov(∑i=1maixi,∑j=1nbjyj)=∑i=1m∑j=1naibjCov(xi,yj)

 

很多协方差的计算都是反复利用这个性质，而且可以导出一些列重要结论。

作为一种特殊情况：

 

Cov(a+bx,c+dy)=bdCov(x,y)Cov(a+bx,c+dy)=bdCov(x,y)

 

另外当x=y时，可以导出方差的一般线性组合求解公式：

 

Var(∑k=1naixi)=∑i=1n∑j=1naiajCov(xi,xj)Var(∑k=1naixi)=∑i=1n∑j=1naiajCov(xi,xj)

 

相关系数

定义

相关系数通过方差和协方差定义。两个随机变量的相关系数被定义为：

 

Corr(x,y)=Cov(x,y)Var(x)Var(y)−−−−−−−−−−−√Corr(x,y)=Cov(x,y)Var(x)Var(y)

 

性质

1、有界性

相关系数的取值范围为-1到1，其可以看成是无量纲的协方差。

2、统计意义

值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强，越接近-1，说明负相关性越强，当为0时表示两个变量没有相关性。