并查集教学

并查集简介

并查集是一个树形的数据结构，能够实现以下功能：

• 将两个节点所属的两个集合合并
• 查询两个节点是否在一个集合里

并查集教学

我们以洛谷的并查集板题为例
P3367 【模板】并查集
首先我们有$n$个节点。
因为是树形结构，所以我们用$f[x]$记录节点$x$的父亲节点。
当我们把两个节点$x,y$合并时，我们只需要把$x$作为$y$的父亲（或者$y$作为$x$的父亲）,即$f[y]=x$。
那么这两个节点的共性就是它们属于同一棵树，也就是它们的最高祖先相同，那么我们就可以用一棵树来表示一个集合，并且用这棵树的根节点来代表这棵树。
当我们合并的是两个节点所属的两个集合时，我们只要把$x$所属的子树的根节点指向$y$所属的子树的根节点，那么这样就把两棵树合并城一棵树了。
核心代码：f[head(x)]=head(y);
这里head(x)我们使用递归来寻找节点$x$所属的子树的根节点。

int head(int x){
	if(f[x]!=x) return head(f[x]);
	return x;
}

最开始时所有点节点都是分开的，也就是所有的节点都是一棵树，并且其根节点就是它自己。所以我们预处理$f[x]=x$。
那么完整的代码如下：

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int n,m;
int z,x,y;
int f[10009];
int head(int x){
	if(f[x]!=x) return head(f[x]);
	return x;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int j=1;j<=n;j++)
		f[j]=j;
	while(m--){
		scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
		if(z==1){
			f[head(x)]=head(y);
		}else{
			if(head(x)==head(y)) printf("Y\n");
			else printf("N\n");
		}
	}
	return 0;
}

但是当你把这份代码交到洛谷上时就会发现$TLE$了，这里我们给并查集加一个小优化。
我们考虑到如果一棵树是一条链时，如果我们从最深的节点使用$head(x)$来寻找根节点会很浪费时间，那么我们把一个节点的父亲节点直接指向它所属子树的根节点，对于我们的并查集的性质，也就是查询的结果是不影响的，而这样可以缩短从这个节点寻找的根节点遍历的点的个数。
那么接下来的问题就是在哪里加入这个优化呢？对哪些节点加入这个优化呢？
当然是，你需要用到哪个节点，就优化哪个节点。而没有用到（查询需要经过）的节点不优化也是没关系的。
请看如下代码：

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int n,m;
int z,x,y;
int f[10009];
int head(int x){
	if(f[x]!=x) return f[x]=head(f[x]);//优化在这里！！！
	return x;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int j=1;j<=n;j++)
		f[j]=j;
	while(m--){
		scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
		if(z==1){
			f[head(x)]=head(y);
		}else{
			if(head(x)==head(y)) printf("Y\n");
			else printf("N\n");
		}
	}
	return 0;
}