【洛谷P1858】多人背包

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多人背包

题目描述：

DD 和好朋友们要去爬山啦！他们一共有 \(K\) 个人，每个人都会背一个包。这些包的容量是相同的，都是 \(V\)。可以装进背包里的一共有 \(N\) 种物品，每种物品都有给定的体积和价值。在 DD 看来，合理的背包安排方案是这样的：

1. 每个人背包里装的物品的总体积恰等于包的容量。
2. 每个包里的每种物品最多只有一件，但两个不同的包中可以存在相同的物品。
3. 任意两个人，他们包里的物品清单不能完全相同。

在满足以上要求的前提下，所有包里的所有物品的总价值最大是多少呢？

输入格式：

第一行有三个整数：\(K\)、\(V\)、\(N\)。
第二行开始的 \(N\) 行，每行有两个整数，分别代表这件物品的体积和价值。

输出格式：

只需输出一个整数，即在满足以上要求的前提下所有物品的总价值的最大值。

样例输入：

2 10 5
3 12
7 20
2 4
5 6
1 1

样例输出：

57

数据范围：

总人数 \(K<=50\)。
每个背包的容量 \(V<=5000\)。
物品种类数 \(N<=200\)。
其它正整数都不超过 5000。
输入数据保证存在满足要求的方案。

时间限制：

1S

空间限制：

128M

提示：

remove!!!

题解

多人背包？那不就是背包问题吗？
看题目好像还是01背包。
有\(K\)个人，每个人的背包装的东西不能相同，那么不就是前\(K\)大01背包吗？
我们在原来的01背包上增加一维来维护前\(K\)大就行了。
\(dp[i][j]\)表示体积为\(i\)时第\(j\)大的价值是多少。
转移的时候要注意一下，要用类似于归并排序合并时的方法转移。（具体如何实现看代码）

int u1=1,u2=1;
while(u1+u2-1<=k && (dp[j+a][u1]!=-1 || dp[j][u2]!=-1)){
	if(dp[j+a][u1]!=-1 && (dp[j][u2]==-1 || dp[j+a][u1]>dp[j][u2]+b)){us[u1+u2-1]=dp[j+a][u1];u1++;}
	else{us[u1+u2-1]=dp[j][u2]+b;u2++;}
}
for(int o=1;o<=u1+u2-2;o++)
	dp[j+a][o]=us[o];//更新dp中的值

因为只求前\(k\)大的和，所以\(dp\)过程中只用维护前\(k\)大就行了。
注意最后更新时循环是1到\(u1+u2-2\)，因为前面循环结束时\(u1\)或者\(u2\)会多加一次。
要注意这里不能用1到\(k\)，因为前\(k\)个可能不一定全部被更新过，如果\(dp[j+a][k]\)没有被更新过，就用它去更新下一个，就会出bug。
上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k,v,n;
int a,b;
int dp[5009][59];
int us[59];
int ans;
int main(){
	scanf("%d%d%d",&k,&v,&n);
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	dp[0][1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&a,&b);
		for(int j=v-a;j>=0;j--){
			if(dp[j][1]!=-1){//没有这个判断对于结果没有影响，只是用来节省一点点时间
				int u1=1,u2=1;
				while(u1+u2-1<=k && (dp[j+a][u1]!=-1 || dp[j][u2]!=-1)){
					if(dp[j+a][u1]!=-1 && (dp[j][u2]==-1 || dp[j+a][u1]>dp[j][u2]+b)){
						us[u1+u2-1]=dp[j+a][u1];u1++;
					}else{us[u1+u2-1]=dp[j][u2]+b;u2++;}
				}
				for(int o=1;o<=u1+u2-2;o++)
					dp[j+a][o]=us[o];
			}
		}
	}
	for(int j=1;j<=k;j++)
		ans+=dp[v][j];
	printf("%d",ans);
	return 0;
}