生成函数法推导自然数幂求和公式

本文主要介绍用生成函数推导形如 $\sum _{k=1}^n{k}^a,a\in N^{+}$ 的【自然数幂求和公式】的方法。

之前在知乎、博客园看到各种奇奇怪怪的推导【平方和】、【立方和】等自然数幂求和公式的方法，甚至还有什么【伸缩级数法】「看了才知道类似于《具体数学》中的扰动法」。

不过，似乎少有对生成函数法推导自然数幂求和公式的详细介绍。

于是，就趁着这个短暂的高二寒假，用生成函数详细推导了一下，并总结了一套较为完善的模板。

本来想再顺便总结一下拉格朗日插值法和下降幂法，但看样子没时间了……以后找时间再更吧qwq……

文章内容均为本人原创，转载请注明出处，谢谢～

另：毕竟写了快五千多字，可能会有一些纰漏和不足，还请谅解并在评论区指出「或【私信我】」，本人不胜感激～

别急，先看看这些前置芝士你掌握了没有～

前置知识

求导的基本运算

这里只需要用到最基本的幂函数求导和复合函数求导。

所用公式非常简单，没有超出高中数学选择性必修二范围，如下：

$$\begin{array}{rl}& {\left[C\right]}^{\prime }=0\\ & {\left[x^n\right]}^{\prime }=n{x}^{n-1}\\ & {[f(x)g(x)]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\\ & {\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{{[g(x)]}^2}(g(x)\ne 0)\\ & {[f(g(x))]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)\end{array}$$

「这都不会我也救不了你辣qwq……」

生成函数的基本用法

详见【生成函数法求斐波那契数列通项公式】。

生成函数的求和性质

已知两个数列 $\{a_n\},\{b_n\},n\in N$，其中 $b_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$。

设数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的生成函数分别为：

$$\begin{array}{rl}A(x)& =a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n+\dots \\ B(x)& =b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_n{x}^n+\dots \end{array}$$

则有：

$$B(x)=\frac{1}{1-x}A(x)$$

• 证明一「提取公因式」

  $$\begin{array}{rl}B(x)& =b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_n{x}^n+\dots \\ & =a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+\dots +(a_0+a_1+\dots +a_n)x^n+\dots \\ & =a_0(1+x+x^2+\dots +x^n+\dots )+a_1(1+x+\dots )+a_2(1+x+\dots )+\dots \\ & =(1+x+x^2+\dots +x^n+\dots )(a_0+a_1+a_2\dots +a_n+\dots )\\ & =\frac{1}{1-x}A(x)\end{array}$$

• 证明二「错位相减法」

  不妨证明 $(1-x)B(x)=A(x)$。

  $$\begin{array}{rl}(1-x)B(x)& =(1-x)(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_n{x}^n+\dots )\\ & =(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_n{x}^n+\dots )-x(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_n{x}^n+\dots )\end{array}$$

  错位相减：

  $$\begin{array}{rl}(1-x)B(x)=(b_0+& b_{1}x+b_2{x}^2+b_3{x}^3+\dots +b_n{x}^n+\dots )\\ -(& b_{0}x+b_1{x}^2+b_2{x}^3+\dots +b_{n-1}{x}^n+\dots )\end{array}$$

  由于 $b_n-b_{n-1}=a_n$，且 $b_0=a_0$，故：

  $$(1-x)B(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n+\dots =A(x)$$

  因此：

  $$B(x)=\frac{1}{1-x}A(x)$$

• 应用「$important!!!$」

  已知数列 $\{a_n\}$ 的生成函数为 $f(x)$，设 $S_n$ 为 $a_n$ 的前 $n$ 项和，则数列 $S_n$ 的生成函数为：

  $$\frac{1}{1-x}f(x)$$

  这就相当于，对原数列的生成函数乘一个 $\frac{1}{1-x}$ 就相当于求一次和。

广义二项式定理

我们熟知的二项式定理：

$$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k{y}^{n-k}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^{n-k}{y}^k$$

不仅在 $n\in N^{+}$ 时成立，还能推广至 $a\in R$：

$$(x+y{)}^a=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_a^k{x}^k{y}^{a-k}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_a^k{x}^{a-k}{y}^k$$

• 广义组合数

  为了后面的计算，我们有必要扩充一下组合数的定义。

  我们用到的是 $n\in Z$ 且 $n<0$ 的情形。此时：

  $$C_n^m=\frac{n(n-1)(n-2)\dots (n-m+1)}{m(m-1)(m-2)\dots 2\times 1}=\frac{n^{\underset{―}{m}}}{m!}$$

  「其中，$n^{\underset{―}{m}}$ 为下降幂，读作 $n$ 直降 $m$ 次，更多用法见《具体数学》。」

• 应用「$important!!!$」

  后面的推导过程常常遇到这种形式的式子：

  $$\frac{1}{(1-x{)}^a}(a\in Z,a<0)$$

  我们经常需要将其展开：

  $$\frac{1}{(1-x{)}^a}=(1-x{)}^{-a}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{-a}^k(-x{)}^k$$

  对 $C_{-a}^k$ 稍作处理：

  $$\begin{array}{rl}{C}_{-a}^k& =\frac{(-a)(-a-1)(-a-2)\dots (-a-k+1)}{k(k-1)(k-2)\dots 2\times 1}\\ & =(-1{)}^k\cdot \frac{a(a+1)(a+2)\dots (a+k-1)}{k(k-1)(k-2)\dots 2\times 1}\\ & =(-1{)}^k\cdot \frac{(a+k-1)(a+k-2)\dots (a+2)(a+1)a}{k(k-1)(k-2)\dots 2\times 1}\\ & =(-1{)}^k\cdot C_{a+k-1}^k\end{array}$$

  代回原式：

  $$\begin{array}{rl}\frac{1}{(1-x{)}^a}=& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{-a}^k(-x{)}^k\\ =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{C}_{a+k-1}^k\cdot (-1{)}^k{x}^k\\ =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{a+k-1}^k{x}^k\\ =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{a+k-1}^{a-1}{x}^k\end{array}$$

  于是，我们愉快地将 $(-1{)}^k$ 消掉，得到了这个每一项都是正数、简洁而优雅的式子～

  「注：最后一步将 $C_{a+k-1}^k$ 中的 $k$ 转化为常数 $a-1$，方便计算。」

公式推导

正片开始！

我们不妨先从简单的 $\sum _{k=1}^{n}k$ 开始，熟悉一下推导过程。

推导一

• 目标

  $$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

• $\text{step1}$：求出目标数列的生成函数「前置知识：【求导的基本运算】、【生成函数的基本用法】」

  不妨先考虑生成函数最简单的形式。

  数列 $\{1,1,1,\dots \}$ 的生成函数为：

  $$f(x)=1+x+x^2+\dots +x^n+\dots =\frac{1}{1-x}$$

  我们想要得到的数列 $\{a_n\}$ 是 $\{1,2,3,\dots ,n,\dots \}$「这里默认 $a_0=0$，下文不再说明」

  其生成函数为：

  $$g(x)=x+2x^2+3x^3+\dots +n{x}^n+\dots$$

  显然，对 $f(x)$ 求导一次即可：

  $$\frac{df}{dx}=1+2x+3x^2+\dots +n{x}^{n-1}+\dots =\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{1-x}\right]=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$

  两边同乘 $x$：

  $$x+2x^2+3x^3+\dots +n{x}^n+\dots =\frac{x}{(1-x{)}^2}$$

  于是：

  $$g(x)=x+2x^2+3x^3+\dots +n{x}^n+\dots =\frac{x}{(1-x{)}^2}$$

  至此，我们轻松求得了数列 $\{1,2,3,\dots ,n,\dots \}$ 的生成函数 $g(x)$。

• $\text{step2}$：将原数列求和转化为新数列系数「前置知识：【生成函数的求和性质】」

  我们已经得到了待求和数列 $\{a_n\}$ 的生成函数 $g(x)$，那么如何求该数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 呢？

  常用的操作方法是：

  1. 用 $\{a_n\}$ 构造新的数列 $\{S_n\}$，其中 $S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$，求出 $\{S_n\}$ 的生成函数 $G(x)$。「$\text{step2}$」
  2. 将数列 $\{S_n\}$ 的生成函数 $G(x)$ 展开，取出 $S_n$ 对应的 $x$ 的系数。「$\text{step3}$」

  先考虑求出数列 $\{S_n\}$ 的生成函数 $G(x)$。

  根据前置知识中证明过的结论，对 $\{a_n\}$ 的生成函数 $g(x)$ 乘个 $\frac{1}{1-x}$ 即可得到 $\{S_n\}$ 的生成函数 $G(x)$。

  于是：

  $$G(x)=\frac{1}{1-x}g(x)=\frac{x}{(1-x{)}^3}$$

  即：

  $$G(x)=x+(1+2)x^2+(1+2+3)x^3+\dots +(1+2+\dots +n)x^n+\dots =\frac{x}{(1-x{)}^3}$$

• $\text{step3}$：取出目标和式对应的生成函数系数「前置知识：【广义二项式定理】」

  容易发现，$G(x)$ 中 $x^n$ 的系数为 $1+2+\dots +n$，这就是我们要求的和式！

  由于等式左右两边 $x^n$ 的系数相等，我们可以用广义二项式定理将 $\frac{1}{(1-x{)}^3}$ 展开，取出其中 $x^n$ 的系数即可。

  根据前置知识中推导的式子：

  $$\frac{1}{(1-x{)}^a}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{a+k-1}^{a-1}{x}^k$$

  将 $a=3$ 代入：

  $$\frac{1}{(1-x{)}^3}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{3+k-1}^{3-1}{x}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+2}^2{x}^k$$

  则：

  $$\frac{x}{(1-x{)}^3}=x\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+2}^2{x}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+2}^2{x}^{k+1}$$

  显然，$x^n$ 的系数为 $C_{n+1}^2$。因此：

  $$1+2+\dots +n=C_{n+1}^2=\frac{(n+1)n}{2\times 1}$$

  即：

  $$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

至此，我们成功推导了 $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ 这个式子。

看到这里，可能你还不是很熟悉这一过程。别急，我们再推导一下 $\sum _{k=1}^n{k}^2$ 作为练习。

推导二

• 目标
  $$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

推导步骤与前面基本相同，重复内容此处不再赘述。

• $\text{step1}$：求出目标数列的生成函数

  数列 $\{1,1,1,\dots \}$ 的生成函数为：

  $$f(x)=1+x+x^2+\dots +x^n+\dots =\frac{1}{1-x}$$

  目标数列 $\{a_n\}$ 是 $\{1^2,2^2,3^2,\dots ,n^2,\dots \}$，其生成函数为：

  $$g(x)=1^{2}x+2^2{x}^2+3^2{x}^3+\dots +n^2{x}^n+\dots$$

  先按照之前的步骤，对 $f(x)$ 求导一次：

  $$\frac{df}{dx}=1+2x+3x^2+\dots +n{x}^{n-1}+\dots =\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{1-x}\right]=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$

  两边同乘 $x$：

  $$x+2x^2+3x^3+\dots +n{x}^n+\dots =\frac{x}{(1-x{)}^2}$$

  显然这还不是我们想要的结果。

  容易发现，每次求导并同乘 $x$ 后，各项系数的指数都会加 $1$。

  因此，我们在两边再次求导：

  $$1^2+2^{2}x+3^2{x}^2+\dots +n^2{x}^{n-1}+\dots =\frac{d}{dx}\left[\frac{x}{(1-x{)}^2}\right]=\frac{(1-x{)}^2+x\cdot 2(1-x)}{(1-x{)}^4}=\frac{x+1}{(1-x{)}^3}$$

  两边同乘 $x$：

  $$1^{2}x+2^2{x}^2+3^2{x}^3+\dots +n^2{x}^n+\dots =\frac{x^2+x}{(1-x{)}^3}$$

  这便得到了 $g(x)$。

  $$g(x)=1^{2}x+2^2{x}^2+3^2{x}^3+\dots +n^2{x}^n+\dots =\frac{x^2+x}{(1-x{)}^3}$$

  至此，我们轻松求得了数列 $\{1^2,2^2,3^2,\dots ,n^2,\dots \}$ 的生成函数 $g(x)$。

• $\text{step2}$：将原数列求和转化为新数列系数

  根据结论，对 $\{a_n\}$ 的生成函数 $g(x)$ 乘个 $\frac{1}{1-x}$ 即可得到 $\{S_n\}$ 的生成函数 $G(x)$。

  $$G(x)=\frac{1}{1-x}g(x)=\frac{x^2+x}{(1-x{)}^4}$$

  即：

  $$G(x)=1^{2}x+(1^2+2^2)x^2+(1^2+2^2+3^2)x^3+\dots +(1^2+2^2+\dots +n^2)x^n+\dots =\frac{x^2+x}{(1-x{)}^4}$$

• $\text{step3}$：取出目标和式对应的生成函数系数

  容易发现，$G(x)$ 中 $x^n$ 的系数为 $1^2+2^2+\dots +n^2$，这就是我们要求的和式。

  由于等式左右两边 $x^n$ 的系数相等，我们可以用广义二项式定理将 $\frac{1}{(1-x{)}^4}$ 展开，取出其中 $x^n$ 的系数即可。

  根据结论：

  $$\frac{1}{(1-x{)}^a}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{a+k-1}^{a-1}{x}^k$$

  将 $a=4$ 代入：

  $$\frac{1}{(1-x{)}^4}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{4+k-1}^{4-1}{x}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+3}^3{x}^k$$

  则：

  $$\frac{x^2+x}{(1-x{)}^4}=(x^2+x)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+3}^3{x}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+3}^3(x^{k+2}+x^{k+1})$$

  显然，$x^n$ 的系数为 $C_{n+1}^3+C_{n+2}^3$。因此：

  $$\begin{array}{rl}{1}^2+2^2+\dots +n^2& =C_{n+1}^3+C_{n+2}^3\\ & =\frac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)}{3\times 2\times 1}+\frac{(n+2)\cdot (n+1)\cdot n}{3\times 2\times 1}\\ & =\frac{n(n+1)}{6}(n-1+n+2)\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$

  即：

  $$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

是不是有点感觉了？

这就是生成函数法求 $\sum _{k=1}^n{k}^a,a\in N^{+}$ 的全部过程，无论 $a$ 为多少，步骤都是一样的。

不妨趁热打铁，练习一下 $a=3,4$ 的情形吧～

「建议先自己按照上面的方法尝试推导一下，再看下面的详细推导。」

推导三

• 目标

  $$\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$$

下面给出精炼的推导过程，文字叙述将尽可能简洁。「不理解的回去看推导一、推导二。」

• $\text{step1}$：求出目标数列的生成函数

  数列 $\{1,1,1,\dots \}$ 的生成函数为：

  $$f(x)=1+x+x^2+\dots +x^n+\dots =\frac{1}{1-x}$$

  目标数列 $\{a_n\}$ 是 $\{1^3,2^3,3^3,\dots ,n^3,\dots \}$，其生成函数为：

  $$g(x)=1^{3}x+2^3{x}^2+3^3{x}^3+\dots +n^3{x}^n+\dots$$

  对 $f(x)$ 求导一次后，两边同乘 $x$：

  $$x+2x^2+3x^3+\dots +n{x}^n+\dots =\frac{x}{(1-x{)}^2}$$

  两边再次求导并同乘 $x$：

  $$1^{2}x+2^2{x}^2+3^2{x}^3+\dots +n^2{x}^n+\dots =\frac{x^2+x}{(1-x{)}^3}$$

  两边再次求导并同乘 $x$：

  $$\begin{array}{rl}& 1^{3}x+2^3{x}^2+3^3{x}^3+\dots +n^3{x}^n+\dots =x\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{x^2+x}{(1-x{)}^3}\right]\\ =& x\cdot \frac{(2x+1)(1-x{)}^3+(x^2+x)\cdot 3(1-x{)}^2}{(1-x{)}^6}=\frac{x^3+4x^2+x}{(1-x{)}^4}\end{array}$$

  因此：

  $$g(x)=1^{3}x+2^3{x}^2+3^3{x}^3+\dots +n^3{x}^n+\dots =\frac{x^3+4x^2+x}{(1-x{)}^4}$$

• $\text{step2}$：将原数列求和转化为新数列系数

  根据结论：

  $$\begin{array}{rl}G(x)& =1^{3}x+(1^3+2^3)x^2+(1^3+2^3+3^3)x^3+\dots +(1^3+2^3+\dots +n^3)x^n+\dots \\ & =\frac{1}{1-x}g(x)=\frac{x^3+4x^2+x}{(1-x{)}^5}\end{array}$$

• $\text{step3}$：取出目标和式对应的生成函数系数

  容易发现，$G(x)$ 中 $x^n$ 的系数 $1^3+2^3+\dots +n^3$ 即为所求和式。

  根据结论：

  $$\frac{1}{(1-x{)}^5}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{5+k-1}^{5-1}{x}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+4}^4{x}^k$$

  则：

  $$\frac{x^3+4x^2+x}{(1-x{)}^5}=(x^3+4x^2+x)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+4}^4{x}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+4}^4(x^{k+3}+4x^{k+2}+x^{k+1})$$

  显然，$x^n$ 的系数为 $C_{n+1}^4+4C_{n+2}^4+C_{n+3}^4$。因此：

  $$\begin{array}{rl}& 1^3+2^3+\dots +n^3=C_{n+1}^4+4C_{n+2}^4+C_{n+3}^4\\ & =\frac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot (n-2)}{4\times 3\times 2\times 1}+\frac{4(n+2)\cdot (n+1)\cdot n\cdot (n-1)}{4\times 3\times 2\times 1}+\frac{(n+3)\cdot (n+2)\cdot (n+1)\cdot n}{4\times 3\times 2\times 1}\\ & =\frac{n(n+1)}{24}(n^2-3n+2+4n^2+4n-8+n^2+5n+6)\\ & =\frac{n(n+1)}{24}(6n^2+6n)=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}\end{array}$$

  即：

  $$\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$$

算到这里，你会发现套路都是一样的，按照三个步骤很容易就能求得结果。

下面推导一下 $a=4$ 的公式，建议先自己尝试一下～

「提示：计算量可能稍微有点大，但也不是很难算。」

推导四

• 目标

  $$\sum _{k=1}^n{k}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$

• $\text{step1}$：求出目标数列的生成函数

  数列 $\{1,1,1,\dots \}$ 的生成函数为：

  $$f(x)=1+x+x^2+\dots +x^n+\dots =\frac{1}{1-x}$$

  目标数列 $\{a_n\}$ 是 $\{1^4,2^4,3^4,\dots ,n^4,\dots \}$，其生成函数为：

  $$g(x)=1^{4}x+2^4{x}^2+3^4{x}^3+\dots +n^4{x}^n+\dots$$

  对 $f(x)$ 求导一次后，两边同乘 $x$：

  $$x+2x^2+3x^3+\dots +n{x}^n+\dots =\frac{x}{(1-x{)}^2}$$

  两边再次求导并同乘 $x$：

  $$1^{2}x+2^2{x}^2+3^2{x}^3+\dots +n^2{x}^n+\dots =\frac{x^2+x}{(1-x{)}^3}$$

  两边再次求导并同乘 $x$：

  $$1^{3}x+2^3{x}^2+3^3{x}^3+\dots +n^3{x}^n+\dots =\frac{x^3+4x^2+x}{(1-x{)}^4}$$

  两边再次求导并同乘 $x$：

  $$\begin{array}{rl}& 1^{4}x+2^4{x}^2+3^4{x}^3+\dots +n^4{x}^n+\dots =x\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{x^3+4x^2+x}{(1-x{)}^4}\right]\\ =& x\cdot \frac{(3x^2+8x+1)(1-x{)}^4+(x^3+4x^2+x)\cdot 4(1-x{)}^3}{(1-x{)}^8}=\frac{x^4+11x^3+11x^2+x}{(1-x{)}^5}\end{array}$$

  因此：

  $$g(x)=1^{4}x+2^4{x}^2+3^4{x}^3+\dots +n^4{x}^n+\dots =\frac{x^4+11x^3+11x^2+x}{(1-x{)}^5}$$

• $\text{step2}$：将原数列求和转化为新数列系数

  根据结论：

  $$\begin{array}{rl}G(x)& =1^{4}x+(1^4+2^4)x^2+(1^4+2^4+3^4)x^3+\dots +(1^4+2^4+\dots +n^4)x^n+\dots \\ & =\frac{1}{1-x}g(x)=\frac{x^4+11x^3+11x^2+x}{(1-x{)}^6}\end{array}$$

• $\text{step3}$：取出目标和式对应的生成函数系数

  容易发现，$G(x)$ 中 $x^n$ 的系数 $1^4+2^4+\dots +n^4$ 即为所求和式。

  根据结论：

  $$\frac{1}{(1-x{)}^6}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{6+k-1}^{6-1}{x}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+5}^5{x}^k$$

  则：

  $$\frac{x^4+11x^3+11x^2+x}{(1-x{)}^6}=(x^4+11x^3+11x^2+x)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+5}^5{x}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k+5}^5(x^{k+4}+11x^{k+3}+11x^{k+2}+x^{k+1})$$

  显然，$x^n$ 的系数为 $C_{n+1}^5+11C_{n+2}^5+11C_{n+3}^5+C_{n+4}^5$。因此：

  $$\begin{array}{rl}& 1^4+2^4+\dots +n^4=C_{n+1}^5+11C_{n+2}^5+11C_{n+3}^5+C_{n+4}^5\\ & =\frac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}+\frac{11(n+2)\cdot (n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot (n-2)}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}\\ & +\frac{11(n+3)\cdot (n+2)\cdot (n+1)\cdot n\cdot (n-1)}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}+\frac{(n+4)\cdot (n+3)\cdot (n+2)\cdot (n+1)\cdot n}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}\\ & =\frac{n(n+1)}{120}[(n-1)(n-2)(n-3+11n+22)+(n+2)(n+3)(n+4+11n-11)]\\ & =\frac{n(n+1)}{120}[(n^2-3n+2)(12n+19)+(n^2+5n+6)(12n-7)]\\ & =\frac{n(n+1)}{120}(24n^3+36n^2+4n-4)=\frac{n(n+1)}{30}(6n^3+9n^2+n-1)\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\end{array}$$

  即：

  $$\sum _{k=1}^n{k}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$

对于 $a>4$ 的情形，例如：

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^n{k}^5=\frac{n^2(n+1{)}^2(2n^2+2n-1)}{12} \\ \sum _{k=1}^n{k}^6=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42} \end{gathered}$$

限于篇幅，这里不再讨论。若想了解更多公式，可以参考我整理的【前14个自然数幂求和公式】。

感兴趣的读者可自行推导～

模板「方法总结」

• 目标

  $$\sum _{k=1}^n{k}^a,a\in N^{+}$$

• $\text{step1}$：求出目标数列的生成函数「前置知识：【求导的基本运算】、【生成函数的基本用法】」

  数列 $\{1,1,1,\dots \}$ 的生成函数为：

  $$f(x)=1+x+x^2+\dots +x^n+\dots =\frac{1}{1-x}$$

  目标数列 $\{a_n\}$ 是 $\{1^a,2^a,3^a,\dots ,n^a,\dots \}$，其生成函数为：

  $$g(x)=1^{a}x+2^a{x}^2+3^a{x}^3+\dots +n^a{x}^n+\dots$$

  重复对 $f(x)$ 两边求导后两边同乘 $x$ 的操作 $a$ 次，即可得到 $g(x)$：

  $$g(x)=1^{a}x+2^a{x}^2+3^a{x}^3+\dots +n^a{x}^n+\dots =\frac{h(x)}{(1-x{)}^{a+1}}$$

  其中 $h(x)=c_{1}x+c_2{x}^2+\dots +c_a{x}^a$ 是关于 $x$ 的 $a$ 次多项式。

  「因为最后一次求导后同乘了 $x$，所以 $h(x)$ 不含常数项。」

• $\text{step2}$：将原数列求和转化为新数列系数「前置知识：【生成函数的求和性质】」

  考虑求 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$，方法如下：

  1. 用 $\{a_n\}$ 构造新的数列 $\{S_n\}$，其中 $S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$，求出 $\{S_n\}$ 的生成函数 $G(x)$。「$\text{step2}$」
  2. 将数列 $\{S_n\}$ 的生成函数 $G(x)$ 展开，取出 $S_n$ 对应的 $x$ 的系数。「$\text{step3}$」

  根据前置知识中证明过的结论，对 $\{a_n\}$ 的生成函数 $g(x)$ 乘个 $\frac{1}{1-x}$ 即可得到 $\{S_n\}$ 的生成函数 $G(x)$。

  $$\begin{array}{rl}G(x)& =1^{a}x+(1^a+2^a)x^2+(1^a+2^a+3^a)x^3+\dots +(1^a+2^a+\dots +n^a)x^n+\dots \\ & =\frac{1}{1-x}g(x)=\frac{h(x)}{(1-x{)}^{a+2}}\end{array}$$

• $\text{step3}$：取出目标和式对应的生成函数系数「前置知识：【广义二项式定理】」

  容易发现，$G(x)$ 中 $x^n$ 的系数 $1^a+2^a+\dots +n^a$ 即为所求和式。

  由于等式左右两边 $x^n$ 的系数相等，我们可以用广义二项式定理将 $\frac{1}{(1-x{)}^{a+2}}$ 展开，取出其中 $x^n$ 的系数即可。

  根据前置知识中推导的式子：

  $$\frac{1}{(1-x{)}^a}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{a+k-1}^{a-1}{x}^k$$

  将 $a+2$ 的值代入：

  $$\frac{1}{(1-x{)}^{a+2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{a+2+k-1}^{a+2-1}{x}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{a+k+1}^{a+1}{x}^k$$

  则：

  $$\begin{gathered} \frac{h(x)}{(1-x{)}^{a+2}}=(c_{1}x+c_2{x}^2+\dots +c_a{x}^a)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{a+k+1}^{a+1}{x}^k \\ =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{a+k+1}^{a+1}(c_1{x}^{k+1}+c_2{x}^{k+2}+\cdots +c_a{x}^{k+a}) \end{gathered}$$

  显然，$x^n$ 的系数为 $c_1\cdot C_{n+a}^{a+1}+c_2\cdot C_{n+a-1}^{a+1}+c_3\cdot C_{n+a-2}^{a+1}+\dots +c_a\cdot C_{n+1}^{a+1}$。因此：

  $$\begin{array}{r}{1}^a+2^a+\dots +n^a=c_1\cdot C_{n+a}^{a+1}+c_2\cdot C_{n+a-1}^{a+1}+c_3\cdot C_{n+a-2}^{a+1}+\dots +c_a\cdot C_{n+1}^{a+1}\end{array}$$

  即：

  $$\sum _{k=1}^n{k}^a=c_1\cdot C_{n+a}^{a+1}+c_2\cdot C_{n+a-1}^{a+1}+c_3\cdot C_{n+a-2}^{a+1}+\dots +c_a\cdot C_{n+1}^{a+1}=\sum _{k=1}^a{c}_a\cdot C_{n+a+1-k}^{a+1}$$

The End

以上，便是我对推导自然数幂求和公式的一点点思考，希望能帮到你～

其实，还有一点点思考没来得及写，比如扰动法、拉格朗日插值法、下降幂法、误差积分法等等。

「当然，这些就不是和本文生成函数法一样是原创的了，大多在《具体数学》和【知乎】上都能找到。」

这些方法各有特色，几乎每种方法都能写下如本文一样的篇幅。

希望高考后能有时间，再次享受一下这种沉浸在离散数学中的快感～

「还有我一定要把《具体数学》读完！！！」

都看到这了，不点个赞，发个评论再走嘛：）