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黑 暗 降 临 思路 生成函数。 这个题可以找规律得到答案 $\frac{n (n + 1)}{2 (2n - 1)}$，rqy 姐姐的题解太神仙了喵，所以我来整个大力生成函数的做法。 首先设 $f_n$ 表示所有 $n$ 个结点的二叉树的叶结点数量之和，$g_n$ 为 $n$ 个结点的二叉树数量。 阅读全文
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出题老哥收收味吧，阿米奈！ 记一下几个常用的手段。 昨晚 CF 的 D 是差不多的思路吧，~~不然不会来做。~~ 思路 期望 dp. 先做一些准备工作，求一下逆元和每个数的因数，复杂度 $O(n \ln n)$. 考虑操作每个数得到的贡献。 取反，意味着每个数最多被操作一次，转化成考虑选择若干数操作 阅读全文
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数学不好，大概率是不严谨的。 思路 生成函数 + 卷积。 首先意识到值域是 $10^5$，似乎可以搞事情。并且此题还是对 $998244353$ 取模的数树题，可以考虑生成函数。 首先令 $f_n$ 表示合法且权值为 $n$ 的二叉树个数。 考虑钦定树根的值，可以枚举左右子树的权值和转移： $f_n 阅读全文
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再强没有 xtq！！！1 思路 多项式的正确用法。 首先根据 P4151 [WC2011]最大XOR和路径 的神秘结论，这里只需要任意求出原图的一棵生成树，以及所有只包含一条非树边的简单环就可以维护原图的所有路径了。 对于两点 $u, v$，令 $\operatorname{dis}(u)$ 为生成 阅读全文
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我的 FWT 因为实现原因可能爆负数，但是加个取模是对的喵。 概念 位运算卷积（FWT） 加法卷积的 “加法” 意为第 $i$ 项和第 $j$ 项的结果贡献到第 $i + j$ 项。 类似地，做位运算卷积时多项式的第 $i$ 项和第 $j$ 项贡献到第 $i \oplus j$ 项，其中 $\opl 阅读全文
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限于篇幅，提到的定理不证明。 所有证明见 群论小记 - command_block 的博客 或：题解 P4980 【【模板】Polya定理】 - soulist 的博客 ~~可以认为是上面那篇博客的省流。~~ 群的定义和性质 群的定义：若集合 $G$ 和定义在其上的二元运算 $*$ 满足： 封闭性： 阅读全文
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锐评：小学奥数测验 思路 环 + 循环同构，一眼知群论。 考虑类似 P4980 【模板】Pólya 定理，用 Burnside 引理处理。 令 $G$ 为循环任意次构成的置换群，研究的 “点” 为染色过的环，根据 Burnside 引理知所求为 $\frac{1}{n} \sum\limits_{i 阅读全文
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隔壁友校的小六已经开始做这种题了，准老年选手感到恐惧。 思路 Min-Max 容斥。 首先考虑到 $|n - k| \leq 10$，感觉有大力做法，考虑用 Min-Max 容斥求期望。 设全集 $U$ 为每种原料的出现时间构成的集合，现在需要求的是 $E(\operatorname{kthmin} 阅读全文
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概念 Min-Max 容斥是一种用于转化 Min/Max 的技巧，通常用于对 Min/Max 进行计数 / 期望一类的题目中。 能用 Min-Max 容斥解决的题目数据范围一般较小。 假设现在有全集 $U$，令 $\min(S)$ 为集合 $S$ 中元素的最小值，$\max(S)$ 同理。 Min- 阅读全文
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思路 NTT 优化二项式反演。 首先考虑到求 “正好有 $k$ 种颜色出现 $S$ 次” 的方案数，所以可以考虑转化成求 “至少有 $k$ 种颜色出现 $S$ 次” 的方案数。 形式化地，令 $F[i]$ 为前者，$G[i]$ 为后者。显然有 $G[i] = \sum\limits_{k = i}^ 阅读全文