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球盒问题全家桶。 ~~禁忌「十二重存在」~~ 给定 $n$ 个球和 $m$ 个盒，求在 12 种不同的限制条件下把球放完的方案数。 思路 排列组合 + 斯特林数。 前置知识：【题解】P4389 付公主的背包 / Euler 变换 其壹 壹 球可区分，盒可区分，数量无限制。 盒相当于颜色，放球相当于给 阅读全文
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供题人是树剖姐姐喵 /se 思路 生成函数 + 子集反演 + 分治 NTT. 首先发现当前打中的猎人倒下之后，后面的猎人被射中的概率会随之变化，也就是说操作是有后效性的，不好处理。 有一个高明的转化思路是：考虑转化成每次操作向所有猎人按初始概率开枪，一直到射中当前存活的猎人才结束一次操作。 （一般这 阅读全文
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大龄选手只杀到 E，鉴定为寄。 思路 正解是高明数数，这里提供一种强行推导的方法。 首先有一个死掉的思路：原问题等价于求所有 $n$ 个点的有标号无根树的直径之和。 如果有什么高明的数数方法可以做当然是好的，但是我不会。 所以我们考虑一个假定的度数序列所产生的直径。 结论：一个度数序列可以构造出树的 阅读全文
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思路 EGF + Euler 变换.（有仙人搞出来解析组合做法，但是解析组合是什么？） Euler 变换 处理一类无标号计数问题。 对于这道题而言，无序选取若干物品，使得其体积之和为 $m$，是无标号计数。 考虑当前物品的体积为 $v$，体积为 $v$ 的物品一共有 $F[v]$ 个。 考虑对每类物 阅读全文
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没有证明，快逃。 概念 矩阵树定理，用于一类图论问题的生成树计数。 通常给出一个有向图或无向图，需要求出图中的 内向生成树 / 外向生成树 / 生成树的 个数 / 权值乘积之和等。 这类问题可以通过矩阵树定理转化成行列式求值。 时间复杂度 $O(n^3)$. 内容 以无向图为例。 令 $D$ 为无向 阅读全文
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二项式反演 用于求解一类计数问题，可以认为是多步容斥的推广结论。 通常题目要求 “恰好有 $k$ 个元素满足条件” 的方案总数 $F(k)$，此时如果钦定至少 $k$ 个元素满足条件的方案数 $G(k)$ 容易求出： 因为有 $G(k) = \sum\limits_{i = k}^n {i \cho 阅读全文
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单位根反演套路，记一下。 思路 单位根反演。 除法下取整不能整除分块，只能转化一下。考虑将原式转化成 $\sum\limits_{i = 0}^n {n \choose i} p^i \frac{i - i \bmod k}{k}$. 考虑拆成两个和式：$\sum\limits_{i = 0}^n 阅读全文
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poly 令人晕眩，令人晕眩的 poly. 思路 伯努利数。 首先意识到有一个拉插题也是求自然数幂和，所以答案是关于 $n$ 的 $k$ 次多项式。 考虑设出 $S_{n, k} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} i^k$，这里不设到 $n$ 的原因是方便用伯努利数表示，因 阅读全文
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概念 $\forall c \in N^+$，如果 $\exists x^2 \equiv c \pmod p$，则称 $c$ 是模 $p$ 的二次剩余。 对于 $p$ 是奇质数的情况，有简单的方法求出同余方程 $x^2 \equiv c \pmod p$ 的解。 思路 结论： 当且仅当 $c^{\ 阅读全文