【题解】sequence

题意

定义一个满足下列两个条件之一的序列 \(a\) 为单谷序列：

1. \(\exists 1 \leq k \leq n\)，有 \(a_1 < ... < a_k > a_{k + 1} > ... > a_n\)

2. \(\exists 1 \leq k \leq n\)，有 \(a_1 > ... > a_k < a_{k + 1} < ... < a_n\)

现在给出 \(n\) 次操作，每次操作为往序列末尾加入一个数。对于每次操作，询问使用 swap 操作将序列变成单谷的最小操作次数。

\(n \leq 3 \times 10^5, 1 \leq x \leq 10^9\)

思路

推理。

不妨以转化成第二种单谷序列为例，第一种的情况可以通过将值域对称，然后用第二种的方法求解。两种情况取较小值即为答案。

考虑极端情况。对于最大值，显然它只能转移到序列的两端。将其转移到序列左端的代价为其左边的数的个数，转移到右端的代价同理。假设最大值在下标 \(i\)，不妨将把最大值转移到左侧的代价记为 \(f_{i, 0}\)，转移到右侧的代价记为 \(f_{i, 1}\)，则将最大值归位的代价为 \(\min(f_{i, 0}, f_{i, 1})\)

经过观察，我们发现将最大值归位以后，次大值归位的代价不变。因为最大值已被转移到两端，所以它对其后的转移次数没有贡献。归纳地考虑，记一个数左侧比它小的数的个数为 \(a\)，右侧的个数为 \(b\)，我们发现将一个数归位的代价为 \(\min(a, b)\)

当序列的长度为定值时，我们只需要通过计算 \(\sum\limits_{i = 1}^n \min(f_{i, 0}, f_{i, 1})\) 即可得出答案。

对于每次操作后暴力计算的复杂度是 \(O(n^2 \log n)\)，考虑优化。

简单观察，无论如何操作，\(f_{i, 0}\) 永远为定值，\(f_{i, 1}\) 则单调不降。因此，对于下标 \(i\) 的贡献，在某一个数加入前恒为 \(f_{i, 0}\)，在某一个数加入后恒为 \(f_{i, 1}\)。只需要考虑出这个数的位置怎么取，我们就可以快速统计下标 \(i\) 对不同答案的贡献。

容易发现，当 \(f_{i, 0} \geq f_{i, 1}\) 时，将第 \(i\) 个数移动到右侧更优；反之，将第 \(i\) 个数移动到左侧更优。因此，假设有一个下标 \(k\)，使得第 \([1, k - 1]\) 个数中有 \(2 f_{i, 0}\) 个小于等于 \(a_i\) 的数，而 \([1, k]\) 中有 \(2 f_{i, 0} + 1\) 个，那么第 \(i\) 个数对于第 \([1, k - 1]\) 次操作的贡献为 \(f_{i, 1}\)，对第 \([k, n]\) 次操作的贡献为 \(f_{i, 0}\)

我们可以通过简单的树状数组 + 二分维护下标 \(k\)，总复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。然后考虑如何统计答案。这里不妨采用 增量法，考虑每一个新加进来的数对于答案的影响。显然地，当第 \(i\) 个数被新加入序列的时候，它会从末尾移动到序列右侧的某一个位置。它的移动次数为序列右侧比它小的数的个数。

我们不妨用一个值域树状数组来维护这些数的个数。对于第 \(i\) 个数，显然它在第 \([1, k - 1]\) 次操作时仍在序列右侧，因此我们需要在第 \(k\) 次询问答案前把它删除。于是我们考虑扫一遍维护答案，总复杂度 \(O(n \log n)\)

综上，总复杂度 \(O(n \log^2 n)\)

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
 
const int maxn = 3e5 + 5;
const ll inf = 1e18;
 
int n;
int a[maxn], b[maxn], c[maxn];
int idx[maxn], low[maxn];
ll ans[maxn];
vector<int> del[maxn];
 
int lowbit(int x) { return x & (-x); }
 
void update(int p, int w) { for (int i = p; i <= n; i += lowbit(i)) c[i] += w; }
 
int query(int p)
{
    int res = 0;
    for (int i = p; i; i -= lowbit(i)) res += c[i];
    return res;
}
 
void solve()
{
    memset(c, 0, (n + 1) * sizeof(int));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        low[i] = query(a[i]);
        update(a[i], 1);
        idx[a[i]] = i;
    }
    memset(c, 0, (n + 1) * sizeof(int));
    for (int i = 1; i <= n; i++) del[i].clear();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int l = idx[i], r = n, ans = l;
        while (l <= r)
        {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (query(mid) <= (low[idx[i]] << 1)) l = mid + 1, ans = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        del[ans].push_back(i);
        update(idx[i], 1);
    }
    memset(c, 0, (n + 1) * sizeof(int));
    ll cur = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cur += query(n) - query(a[i]);
//      printf("debug %d\n", query(n) - query(a[i]));
        for (int v : del[i]) update(v, -1);
        ans[i] = min(ans[i], cur);
        update(a[i], 1);
    }
}
 
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = a[i];
        ans[i] = inf;
    }
    sort(b + 1, b + n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = lower_bound(b + 1, b + n + 1, a[i]) - b;
//  for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", a[i]);
//  putchar('\n');
    solve();
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = n + 1 - a[i];
    solve();
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld\n", ans[i]);
    return 0;
}