线段树合并

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概念

字面意思。

对于两棵线段树，考虑依下合并：

1. 从其中一棵的根结点向下遍历。

2. 如果当前结点在两棵线段树中都存在，递归合并其整棵子树。

3. 反之，若只在一棵线段树中存在，直接返回这棵线段树中的该结点。

4. 若当前结点在两棵线段树中都不存在，则新树中也不存在该结点。

写成代码形式基本如下：

view code// a 为树 1 中的该结点，b 同理
// l, r 是该线段树结点对应的区间
int merge(int a, int b, int l, int r)
{
	if (!a) return b;
	if (!b) return a;
	if (l == r)
	{
		// merge
		return a;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	ls[a] = merge(ls[a], ls[b], l, mid);
	rs[a] = merge(rs[a], rs[b], mid + 1, r);
	push_up(a);
	return a;
}

一般认为遍历一次树并进行合并的复杂度大约是 $O(n \log n)$，但是据说可以被卡。

应用

有趣的题单

一般用于处理一部分维护子树的问题，并且通常是值域线段树。

如果对于每一棵子树都维护一棵线段树可以解决问题，不妨考虑线段树合并。

维护子树

维护子树值域

P3605 [USACO17JAN]Promotion Counting P

考虑先对 $p$ 离散化。用线段树合并维护：对于满足 $v$ 在 $u$ 子树内的结点 $u, v$，在计算结点 $u$ 的答案时，对于每一个值 $k$（$1 \leq k \leq n$）维护 $p_{v} = k$ 的结点 $v$ 的数量。然后直接查询值在 $[p_{i} + 1, n]$ 范围内的结点数量即可。

维护深度

CF208E Blood Cousins

考虑转化为求结点 $v$ 的 $p$ 级祖先除 $v$ 外的 $p$ 级后代数量，于是可以用线段树合并维护深度。

考虑维护：对于满足 $v$ 在 $u$ 子树内的结点 $u, v$，在计算结点 $u$ 的答案时，对于每一个值 $k$（$1 \leq k \leq n$）维护 $dep_{v} = k$ 的结点 $v$ 的数量，于是只需用线段树查询深度为 $p$ 的结点数量即可。