【题解】UOJ#37. [清华集训2014]主旋律

我自己写的代码自己都看不懂。

所以芝士一种船新做法，爱来自学弟，lc 学长好工作。

题意

校内 OJ 的题面过于简洁，人话：

给定一个有向的强连通图，问任意删边使得新图仍强连通的方案总数。

答案对 \(10^9 + 7\) 取模。

思路

状压 dp + 容斥。

\(n \leq 15\) 一眼鉴定为状压，令 \(f_S\) 表示点集为 \(S\) 的强连通生成子图数。

考虑到强连通图按强连通分量缩点之后是 DAG，考虑 DAG 的经典套路是钦定出度为 \(0\) 的点进行计数。

只依靠 \(f\) 还是不好转移，考虑容斥成所有方案数减去不强连通的方案数。

令 \(g_S\) 表示点集为 \(S\) 且不强连通的生成子图数，当然后面的 \(g_S\) 还要改定义。

钦定 \(T\) 表示 \(S\) 构成的生成子图中，缩点后出度为 \(0\) 的强连通分量构成的点集。

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考虑 \(f, g\) 的直觉转移和一些等量关系：

对于任意的生成子图，考虑如何钦定原图的若干强连通分量得到它：

令 \(E(S, T)\) 表示 \(\sum\limits_{(u, v) \in E} [u \in S, v \in T]\).

先钦定 \(T\) 中的结点分裂成多个强连通分量。

属于 \(S - T\) 的结点之间任意连边，方案数是 \(2^{E(S - T, S - T)}\).

这些结点和 \(T\) 中的结点也任意连边，方案数是 \(2^{E(S - T, T)}\).

有 \(2^{E(S, S)} = \sum\limits_{T \in S} g_T 2^{E(S - T, S - T)} 2^{E(S - T, T)}\).

\(g\) 的转移似乎只需要钦定图中强连通分量的构成：

\(g_S = \sum\limits_{s_1, \cdots, s_k} \prod\limits_{i = 1}^k f_{s_k}\)，其中 \(s_1, \cdots, s_k\) 两两不交并且并集为 \(S\)，表示 \(S\) 的一种划分.

然而 \(2^{E(S - T, S - T)}\) 种方案中可能有更多出度为 \(0\) 的强连通分量，所以上面都会算重。

于是考虑容斥去重：

\(g_S = \sum\limits_{s_1, \cdots, s_k} (-1)^{k + 1} \prod\limits_{i = 1}^k f_{s_k}\).

钦定此时 \(g\) 中不包含只有 \(S\) 一个强连通分量的情况。

大体证明考虑二项式反演，见 lcw 的博客。

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考虑代回到和 \(g\) 有关的式子中：\(2^{E(S, S)} = \sum\limits_{T \in S} g_T 2^{E(S - T, S - T)} 2^{E(S - T, T)}\).

也就是 \(g_S = 2^{E(S, S)} - \sum\limits_{T \in S} g_T 2^{E(S - T, S - T)} 2^{E(S - T, T)}\).

得到 \(g\) 的递推式。

\(f\) 不好做，就用 \(g\) 推 \(f\).

观察联系 \(g, f\) 的式子 \(g_S = \sum\limits_{s_1, \cdots, s_k} (-1)^{k + 1} \prod\limits_{i = 1}^k f_{s_k}\).

进一步化简，只需钦定其中编号最小的点所在的强连通分量，剩下的部分在更小规模的状态算过：\(g_S = - \sum\limits_{s_1 \subseteq S, s_1 \neq \emptyset} f_{s_1} g_{S - s_1}\).

把 \(s_1 = S\)，也就是 \(f_S\) 的情况提出来，化简一下得到 \(f_S = g_S + \sum\limits_{s1 \subsetneq S, s_1 \neq \emptyset} f_{s1} g_{S - s_1}\).