后缀自动机
sto 辰星凌 command_block orz
概念
后缀自动机是一种用于处理子串相关问题的字符串算法。
通常可以做到线性时间内处理一些复杂的子串问题。
可以和 线段树合并/LCT 等等的数据结构一起出。
有时候可以用 SA/后缀树 一类的东西代替。
概述
对于一个字符串 \(S\) 的子串 \(s\)，\(s\) 的 endpos 集合表示： \(s\) 每次在 \(S\) 中出现时最后一个字符的下标构成的整数集。
约定 endpos 相同的子串为一个 endpos 等价类。
关于 endpos 集合有一些有用的性质：
-
两个子串的 endpos 集合要么交集为空，要么其中长串的 endpos 是短串 endpos 的子集。
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如果两个子串的 endpos 相同，那么其中短串必定是长串的后缀。
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对于一个 endpos 等价类，其中的子串长度构成一个连续的区间，并且其中长度为 \(x\) 的子串必定是长度为 \(x + 1\) 的子串（如果有）的后缀。
-
endpos 等价类的个数为 \(O(n)\) 级别。
事实上 endpos 集合的包含关系可以构成一棵树，称之为 parent tree。
注意 parent tree 的结点表示的是一个 endpos 等价类而非字符串。
记 \(fa(S)\) 表示 parent tree 中等价类 S 的父结点，\(minlen(S)\) 表示 endpos 等价类 S 中最短的字符串的长度，\(len(S)\) 表示 endpos 等价类 S 中最长的字符串的长度。
有性质 5：\(minlen(S) = len(fa(S)) + 1\)
存在构造方式使得 SAM 的结点和 parent tree 的结点相同，于是只需要考虑如何构造边集使得其满足 SAM 的性质：
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父结点的 endpos 包含子结点的 endpos
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父结点等价类中的所有子串都是当前等价类中任意子串的后缀
-
SAM 是一张 DAG
-
原串的所有子串都可以被 SAM 上的一条路径表示
事实上可以证明存在边数不超过 \(O(n)\) 的构造方法。
构造
实际上 SAM 的构造和前面的推导没太大关系（笑
采用增量构造。
SAM 可以表示原串的所有子串，等价于可以表示每个前缀的任意后缀。因此可以考虑把每个长度的前缀的任意后缀都插入 SAM，实际上从 \(i - 1\) 长度到 \(i\) 长度的增量就是若干 \(i - 1\) 长度前缀的后缀加上第 \(i\) 个字符形成的新后缀。
对 parent tree 结点的定义：
struct node
{
int len, fa, son[26];
node() { memset(son, 0, sizeof(son)); fa = len = 0; }
} nd[sz];
其中 len 表示当前结点代表的等价类中最长字符串的长度。
假设要插入的字符为 c，定义增量函数为：
void insert(int c)
对于 SAM 中的结点，其中存在一些 endpos 中含有已插入最长前缀长度的结点，不妨称这些结点为终止结点。
考虑在增量的同时维护变量 lst 表示上一次插入的字符所处的终止结点。
int p = lst, np = lst = ++cur;
首先字符串总长增加 \(1\)：
nd[np].len = nd[p].len + 1;
对于此前 SAM 中 np 的祖先结点，它们会代表一些长度为 \(i - 1\) 的前缀的后缀。假设其中有一字符串 \(s\)，如果 \(s + c\) 不能被 SAM 中的结点表示，那么那么就从该结点到插入的结点连一条边，代表插入这个新后缀：
for ( ; p && (!nd[p].son[c]); p = nd[p].fa) nd[p].son[c] = np;
判断 p != 0 是防止跳出起始结点。
情况 1：如果没有其他结点可以表示产生的新后缀，根据定义有：
if (!p) nd[np].fa = 1;
情况 2：存在其他结点可以表示产生的新后缀
如果这个结点的等价类里最长的串是新后缀：
int q = nd[p].son[c];
if (nd[q].len == nd[p].len + 1)
那么这个结点的等价类里所有的字符串都是产生的新后缀，发现此时 \(endpos(np) \subseteq endpos(q)\)，于是：
nd[np].fa = q;
反之，进入情况 3。此时 q 的等价类里有更长的串，因此它的 endpos 不包含 n，所以此时直接连边不满足 parent tree 的定义。
那么考虑将 q 拆分成两个结点，一个结点表示原等价类中长度在 \([minlen, len(p) + 1]\) 的字符串，另一个表示原等价类中剩下的子串。注意此时两个结点表示的 endpos 不相等。
int nq = ++cur;
nd[nq] = nd[q], nd[nq].len = nd[p].len + 1;
那么根据定义有 \(endpos(q) \subseteq endpos(nq), endpos(p) \subseteq(nq)\)，直接连边：
nd[q].fa = nd[np].fa = nq;
然后相应地把祖先结点的连边也一起修改：
for ( ; p && (nd[p].son[c] == q); p = nd[p].fa) nd[p].son[c] = nq;
具体正确性我不会证，之后再填坑吧。
void insert(int c)
{
int p = lst, np = lst = ++cur;
cnt[cur] = 1, nd[np].len = nd[p].len + 1;
for ( ; p && (!nd[p].son[c]); p = nd[p].fa) nd[p].son[c] = np;
if (!p) nd[np].fa = 1;
else
{
int q = nd[p].son[c];
if (nd[q].len == nd[p].len + 1) nd[np].fa = q;
else
{
int nq = ++cur;
nd[nq] = nd[q], nd[nq].len = nd[p].len + 1;
nd[q].fa = nd[np].fa = nq;
for ( ; p && (nd[p].son[c] == q); p = nd[p].fa) nd[p].son[c] = nq;
}
}
}
采用这种方法构造的 SAM 点数不超过 \(2n - 1\)，边数不超过 \(3n - 4\)（\(n \geq 3\)）
广义 SAM
普通 SAM 维护的是字符串，广义 SAM 维护的是 Trie。
也可以理解成是维护多个字符串。
网上有大量盗版广义 SAM，常见的是每次插入后直接令 lst = 1 或者用奇怪符号处理原串。这些在大部分情况下是对的，但是可以被卡。@辰星凌 的博客详细解释过这些问题。
定义增量函数为：
int insert(int c, int lst)
实际上正确的在线写法只需要添加两个特判：
- 如果该结点已经存在，则不用新建结点。
if (nd[lst].son[c])
int p = lst, q = nd[lst].son[c];
if (nd[p].len + 1 == nd[q].len) return q;
- 如果
nd[p].son[c]已经存在且不为上面的情况，那么如果新建结点，则该结点为空（不保存任何信息）。此时也按照不新建结点的情况处理。
else
{
int nq = ++cur;
nd[nq] = nd[q], nd[nq].len = nd[p].len + 1;
nd[q].fa = nq;
for ( ; p && (nd[p].son[c] == q); p = nd[p].fa) nd[p].son[c] = nq;
return nq;
}
证明略，见参考博客。
于是得到广义 SAM 的增量函数。
int insert(int c, int lst)
{
if (nd[lst].son[c])
{
int p = lst, q = nd[lst].son[c];
if (nd[p].len + 1 == nd[q].len) return q;
else
{
int nq = ++cur;
nd[nq] = nd[q], nd[nq].len = nd[p].len + 1;
nd[q].fa = nq;
for ( ; p && (nd[p].son[c] == q); p = nd[p].fa) nd[p].son[c] = nq;
return nq;
}
}
int p = lst, np = ++cur;
nd[np].len = nd[p].len + 1;
for ( ; p && (!nd[p].son[c]); p = nd[p].fa) nd[p].son[c] = np;
if (!p) nd[np].fa = 1;
else
{
int q = nd[p].son[c];
if (nd[q].len == nd[p].len + 1) nd[np].fa = q;
else
{
int nq = ++cur;
nd[nq] = nd[q], nd[nq].len = nd[p].len + 1;
nd[q].fa = nd[np].fa = nq;
for ( ; p && (nd[p].son[c] == q); p = nd[p].fa) nd[p].son[c] = nq;
}
}
return np;
}
注意插入新串时要重新将 lst 设为 \(1\)
如果要对多个字符串维护信息，需要对每个字符串分别存储信息，例如求出现次数不能共用一个变量而是要开数组。
用结构体实现可能会被 卡常，写数组会快很多，但数组写法先咕了
套路
子串出现次数
结论：SAM 中结点的出现次数 等价于 子树大小。
考虑 parent tree，对于子结点出现过的位置，其父结点（后缀）一定也出现过。因此每次插入字符时将其出现次数设为 \(1\)，然后在 parent tree 上求子树和即可。
本质不同子串个数
-
做法一：等价于求 \(\sum\limits maxlen(p) - minlen(p) = maxlen(p) - maxlen(fa(p))\)
做法二：注意到 SAM 是 DAG，所以等价于路径计数。
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P4070 [SDOI2016]生成魔咒
动态求不同子串个数。
每次新建 SAM 结点的时候加入其贡献就行，注意
nq没有贡献。
最长公共子串
SP1811 LCS - Longest Common Substring
考虑字符串所有的子串都可以表示成：原串某个前缀的后缀。
于是考虑对其中一个串建立 SAM，在另一个串上跑匹配。
枚举匹配串的前缀，如果 SAM 中有当前字符的转移则转移，反之一直向上跳，直到存在转移为止。得到的是此前缀的某一个后缀，也就是这个前缀和另一个串的 LCS.
第 k 小子串
跑一遍路径计数，然后类似于平衡树地递归求即可。
求等价类的 endpos
考虑线段树合并。
考虑遍历原串的每一个前缀所在的等价类，将这些结点作为初始条件，暂时令其 endpos 为自身长度。
然后将所有等价类按照长度排序，然后倒序线段树合并。
具体的以后再补，咕咕咕。
parent tree 相关
多串匹配
SP8093 JZPGYZ - Sevenk Love Oimaster
考虑对所有模板串建立广义 SAM，插入每个前缀时在相应结点打上标记。
查询时找到该串对应的 SAM 结点，转化成在该结点的子树内数不同的标记数量。线段树合并维护。
动态维护出现次数
P5212 SubString
每次给定一个字符串，将其 接在已有串的末尾 或者 询问其在已有串的出现次数。
考虑到某个串的出现次数可以转化成 parent tree 上的子树和，于是考虑转化成动态加点，维护子树和。
注意到增加一个结点的贡献等价于：其到根的路径上每个结点的子树和加一。用 LCT 维护动态链加，单点查权值就行。
parent tree 上倍增
CF666E Forensic Examination
类似求 LCS，考虑维护 \(S\) 的每个前缀 \([1, r]\) 和 \(T\) 匹配的最长长度 \(mch(r)\) 和此时对应的 SAM 结点 \(nd(r)\)。
对于询问 \([pl, pr]\)，考虑从 \(nd(r)\) 向上倍增，直到找到等价类中包含长度 \([pr - pl + 1]\) 的结点。
此时的问题是该结点对应的字符串在 \(T_l, \cdots, T_r\) 中出现次数最多的串。
考虑用线段树合并维护，插入时对于前缀结点 \(p\)，令其对应的字符串编号为 \(x\)，在线段树上 \(x\) 处加一。
后缀树
反串的 parent tree.
性质：\(lcp(a, b)\) 等于 \(a, b\) 在后缀树上 LCA 的深度.
资料
史上最通俗的后缀自动机详解 - KesdiaelKen 的博客 - 洛谷博客
