群论基础
限于篇幅，提到的定理不证明。
所有证明见 群论小记 - command_block 的博客
或：题解 P4980 【【模板】Polya定理】 - soulist 的博客
可以认为是上面那篇博客的省流。
群的定义和性质
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群的定义：若集合 \(G\) 和定义在其上的二元运算 \(*\) 满足：
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封闭性：\(\forall a, b \in G, a * b \in G\).
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结合律：\(\forall a, b, c \in G, (a * b) * c = a * (b * c)\).
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单位元：\(\exist \epsilon \in G, \forall a \in G, a * e = a\).
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逆元：\(\forall a \in G, \exist a^{-1} \in G, a * a^{-1} = e\).
则称 \(G\) 在 \(*\) 下是一个群，有时 \(*\) 省略。
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群的基本性质：
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群的单位元唯一。
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\(ab = ac \Rightarrow b = c, ba = ca \Rightarrow b = c\).
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每个元素的逆元唯一。
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对于任意的有限群 \(G = \{\epsilon, a_1, \cdots, a_n\}\)
\(\forall a \in G\)，存在一个常数 \(\operatorname{ord}(a)\)，使得 \(a^{\operatorname{ord}(a)} = \epsilon\)，此时 \(\operatorname{ord}(a)\) 称为元素 \(a\) 的阶，且 \(a^{-1} = a^{\operatorname{ord}(a) - 1}\).
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置换和置换群
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置换的定义：对于 \(1\) 到 \(n\) 的排列，令 \(k\) 被 \(a_k\) 所取代。若 \(a\) 也为 \(1\) 到 \(n\) 的排列，则称这两个排列之间的双射为置换，写作：\(\begin{aligned}\begin{pmatrix}1 &2 &3 &\cdots &n \\a_1 &a_2 &a_3 &\cdots &a_n\end{pmatrix}\end{aligned}\)
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置换乘法：将置换的效果叠加。例如：
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置换乘法的性质：
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置换的乘积还是置换。
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置换乘法不满足交换律。
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置换乘法满足结合律。
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单位元为：\(\begin{aligned}\begin{pmatrix}1 &2 &3 &\cdots &n \\1 &2 &3 &\cdots &n \\\end{pmatrix}\end{aligned}\)
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\(\begin{aligned}\begin{pmatrix}1 &2 &3 &\cdots &n \\a_1 &a_2 &a_3 &\cdots &a_n\end{pmatrix}\end{aligned}\) 的逆为 \(\begin{aligned}\begin{pmatrix}a_1 &a_2 &a_3 &\cdots &a_n \\1 &2 &3 &\cdots &n \\\end{pmatrix}\end{aligned}\)
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置换群：
根据定义知对 \(1 \cdots n\) 作用的所有置换构成一个群。
通常研究的是这个置换群的子集。
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性质：对于任意的 \(n\) 阶有限群，存在一个 \(n\) 阶置换群与其同构。
同构：\(\forall a, b \in G, a * b = c\)，令 \((a, b)\) 为二分图的左部点，向右部点 \(c\) 连边。若两个群构造出的二分图相同，则称这两个群同构。
实际上等价于群中所有运算的结果对应相同。
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置换环：将 \(1 \cdots n\) 看作结点，令 \(i\) 向 \(a_i\) 连边，得到的有向图由若干个环组成，称这些环为置换环。
置换可以用其包含的置换环表示，并且这种表示是唯一的。
Burnside 引理
令 \(G\) 是 \(1 \cdots n\) 的某个置换群。
置换 \(\begin{aligned}\begin{pmatrix}1 &2 &3 &\cdots &n \\a_1 &a_2 &a_3 &\cdots &a_n\end{pmatrix}\end{aligned}\) 的另一种写法是 \(1 \stackrel{p}\longrightarrow a_1, \cdots, n \stackrel{p}\longrightarrow a_n\).
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不动点：\(\forall p \in G\)，如果 \(k \stackrel{p}\longrightarrow k\)，则称 \(k\) 是 \(p\) 的不动点。记 \(p\) 的不动点个数为 \(c(p)\).
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\(k\) 不动置换类：\(\forall p \in G\)，若 \(k\) 是 \(p\) 的不动点，则称 \(p\) 属于 \(k\) 不动置换类，记作 \(p \in Z_k\).
注意到 \(Z_k\) 是 \(G\) 的子群。
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等价类：对元素 \(k\) 进行任意 \(G\) 中置换可以得到的元素集合，即 \(\{x \mid k \stackrel{p}\longrightarrow x, p \in G\} \cup \{k\}\)，也称为轨迹。
- 性质：当 \(x, y\) 同属一个等价类时，有 \(|Z_x| = |Z_y|\).
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轨道-稳定化子定理：\(|Z_k| \cdot |E_k| = |G|\).
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Burnside 引理：设 \(E_1, \cdots, E_n\) 中本质不同的个数为 \(l\)，则 \(l = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{p \in G} c(p)\).
翻译：本质不同的等价类数量 = 所有置换意义下不动点数量的平均数。
注意这里的不动点不一定是自然数，也可以是 “染色过的环” 一类的具体方案。
Polya 定理
考虑 Burnside 引理的一般应用：染色问题等求本质不同的方案数问题，一般情况下都需要求出不动点的数量。
假设现在有 \(n\) 种元素，每种元素可以染 \(m\) 种颜色。
令 \(T(p)\) 表示在经过置换 \(p\) 作用后仍和原先保持一致的染色方案数。根据 Burnside 引理可知染色总方案数为 \(\frac{1}{|G|} \sum\limits_{p \in G} T(p)\)
