回文自动机
概念
回文自动机，PAM，又叫回文树。
用于处理和回文子串有关的问题，和 SAM 有一些类似的地方。
构造
首先 PAM 上的每个结点代表原串的一个回文子串。
根据神秘结论，原串本质不同的回文子串至多有 \(n\) 个，也就是 PAM 的点数至多是 \(n + 2\)，边数至多是 \(n\).
考虑到回文串的奇偶性会导致一些讨论，考虑给奇数长度和偶数长度的回文子串分别构造奇根和偶根。
指针全部指向奇根，奇根长度为 \(-1\).
这样出现新字符的时候就可以直接挂到奇根。
然后考虑 PAM 上的转移。
从上到下的转移意味着在父结点代表的串中首尾各加上指定的字符。
从下到上的转移 fail 意味着该结点的最长回文真后缀对应的结点。
构造和 SAM 一样考虑增量，每次向上找到最后一个可以和当前位置匹配的结点转移就行。
向上跳相当于消耗已有的势能，势能分析得构造 PAM 的时间复杂度是 \(O(n)\).
有时候会需要知道某串中长度小于一半的回文子串，可以另外维护一个指针指向对应的子串。更新暴力向上跳就行。
void build() { cur = fail[0] = fail[1] = 1, len[1] = -1; }
int get_fail(int nd, int p)
{
while (s[p - len[nd] - 1] != s[p]) nd = fail[nd];
return nd;
}
void insert(int p)
{
int x = get_fail(lst, p), c = ch_id(s[p]);
if (!son[x][c])
{
cur++;
len[cur] = len[x] + 2, fail[cur] = son[get_fail(fail[x], p)][c];
son[x][c] = cur;
if (len[cur] <= 2) trans[cur] = fail[cur];
else
{
int tr = trans[x];
while ((s[p - len[tr] - 1] != s[p]) || ((len[tr] + 2) * 2 > len[cur])) tr = fail[tr];
trans[cur] = son[tr][c];
}
}
lst = son[x][c], cnt[lst]++;
}
套路
本质不同回文子串个数
等价于 PAM 的总点数 - 2，也就是除去奇根和偶根。
回文子串出现次数
例题：P3649 [APIO2014] 回文串
类似 SAM，考虑在回文树上求子树和。
回文树上 dp
例题：P4762 [CERC2014]Virus synthesis
考虑令 \(f[i]\) 表示构造回文树上结点 \(i\) 对应子串需要的最少次数，\(trans[i]\) 表示结点 \(i\) 长度不超过一半的最长回文真后缀结点。
讨论一下树边的转移和 trans 有关的转移就行。
k 阶回文子串计数
例题：CF835D Palindromic characteristics
考虑讨论 \(i\) 和 \(trans[i]\) 的长度转移。
偶回文子串划分
对于给定的字符串，考虑将其划分成若干个长度为偶数的回文子串，求方案总数。
考虑朴素的 dp，令 \(f[i]\) 为前缀 \([1, i]\) 的方案总数，则 \(f[i] = \sum\limits_{j = 1, 2 \mid i - j}^{i - 1} w(j + 1, i) f[j]\)，其中 \(w(l, r)\) 表示 \(S_{[l, r]}\) 是否是回文串。
这个东西上树等价于从 lst 开始跳 fail，但是当回文树深度够大的时候就会 T，考虑优化。
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引理：任意字符串的 border 按照长度排序后可以划分成 \(O(\log)\) 个等差数列。
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结论：若字符串 \(S\) 的某一后缀是回文的，则其必定是 \(S\) 的 border.
于是我们知道字符串的回文后缀可以划分成至多 \(O(\log)\) 个等差数列。
于是我们只需要考虑在 PAM 上新加入一个结点时，其所在的等差数列产生的新贡献。
容易发现此时只会新增加 \(i - len(x) - \delta\) 位置的贡献，其中 \(i\) 是当前下标，\(len(x), \delta\) 分别是上一个等差数列的末项和当前的公差，也就是说 \(len(x) + \delta\) 为当前等差数列的首项。
于是在维护 PAM 的时候一起维护上一个等差数列的末项对应的结点就行。
时间复杂度 \(O(|S| \log |S|)\).
例题：
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CF932G Palindrome Partition
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CF906E Reverses
