【题解】P5169 xtq的异或和

再强没有 xtq！！！1

思路

多项式的正确用法。

首先根据 P4151 [WC2011]最大XOR和路径 的神秘结论，这里只需要任意求出原图的一棵生成树，以及所有只包含一条非树边的简单环就可以维护原图的所有路径了。

对于两点 \(u, v\)，令 \(\operatorname{dis}(u)\) 为生成树上点 \(u\) 到根的路径异或和，\(x\) 为原图中任意一个合法简单环的权值，则原图中 \(u, v\) 之间所有路径的贡献等价于 \(\operatorname{dis}(u) \oplus \operatorname{dis}(v) \oplus x\) 的贡献。

于是想到用线性基一类的东西去维护每一个合法环的权值，但是这里有更简单的做法。

考虑令 \(G[i]\) 表示是否存在异或和为 \(i\) 的合法环。每次插入一个权值为 \(x\) 的合法环时，\(\forall i\)，如果 \(G[x] = 0\)，则 \(G[i \oplus x]\) 也一定等于 \(0\)，不然可以反推出 \(G[x] = 1\).

每次暴力插入完之后 \(\sum\limits_{i} G[i]\) 至少翻倍，所以时间复杂度是 \(O(V \log V)\).

令 \(F[i] = \sum\limits_{j = 1}^n [\operatorname{dis}(j) = i]\)，那么询问 \(x\) 时答案为 \(\sum\limits_{i \oplus j = x} F[i] \cdot F[i] \cdot G[j]\).

发现实际上是一个位运算卷积的形式，考虑上 FWT 就可以 \(O(n \log n)\) 做了。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 1e5 + 5;
const int maxm = 3e5 + 5;
const int lim = 262144;
const int mod = 998244353;

struct node
{
    int u, v, w;
    bool vis;
} edge[maxm];

int n, m, q;
int dis[maxn];
ll F[lim], G[lim];
bool vis[maxn];
vector<int> g[maxn], w[maxn], idx[maxn];

void dfs(int u)
{
    vis[u] = true;
    F[dis[u]]++;
    for (int i = 0; i < g[u].size(); i++)
    {
        int v = g[u][i], d = w[u][i], id = idx[u][i];
        if (vis[v]) continue;
        dis[v] = dis[u] ^ d;
        edge[id].vis = true;
        dfs(v);
    }
}

void FWT(ll *F, int n)
{
    for (int len = 2, m = 1; len <= n; m = len, len <<= 1)
    {
        for (int l = 0, r = len - 1; r <= n; l += len, r += len)
        {
            for (int p = l; p < l + m; p++)
            {
                ll val = F[p];
                F[p] = F[p] + F[p + m];
                F[p + m] = val - F[p + m];
            }
        }
    }
}

void IFWT(ll *F, int n)
{
    for (int len = 2, m = 1; len <= n; m = len, len <<= 1)
    {
        for (int l = 0, r = len - 1; r <= n; l += len, r += len)
        {
            for (int p = l; p < l + m; p++)
            {
                ll val = F[p];
                F[p] = (F[p] + F[p + m]) / 2;
                F[p + m] = (val - F[p + m]) / 2;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1, u, v, d; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &d);
        edge[i] = (node){u, v, d};
        g[u].push_back(v), w[u].push_back(d), idx[u].push_back(i);
        g[v].push_back(u), w[v].push_back(d), idx[v].push_back(i);
    }
    dfs(1);
    G[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        if (!edge[i].vis)
        {
            int res = edge[i].w ^ dis[edge[i].u] ^ dis[edge[i].v];
            if (!G[res])
                for (int j = 0; j < lim; j++)
                    if (G[j]) G[j ^ res] = 1;
        }
    }
    FWT(F, lim), FWT(G, lim);
    for (int i = 0; i < lim; i++) F[i] = F[i] * F[i] * G[i];
    IFWT(F, lim);
    while (q--)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        printf("%lld\n", F[x] % mod);
    }
    return 0;
}