【题解】P4292 [WC2010]重建计划

思路

点分治 + 单调队列

01 分数规划 + 长链剖分 + 线段树。

首先看到分数形式求最值先考虑分数规划，二分答案。

现在的问题是：是否存在长度在 \([L, U]\) 之间的树上路径 \(S\) 使得 \(\frac{\sum\limits_{e \in S} v(e)}{|S|} \geq ans\)

化简得 \(\sum\limits_{e \in S} - ans |S| \geq 0\)

可以考虑给树上的每条边权值赋予一个当前二分出的变化量 \(\Delta\)，这样直接判定是否存在权值和大于 \(0\) 的路径即可。

树上路径考虑点分治和长剖，这里点分治不好合并，长剖比较好写。

而且点分治常数应该挺大，虽然我的长剖跑不过

因为路径的合法长度是一个区间，所以最后查询答案需要区间查询，考虑用一棵线段树维护。

首先考虑继承答案。

类似重链剖分，考虑处理出每个结点的深子结点，然后按深子结点优先处理出每个结点的 dfs 序。显然一条深链的 dfs 序是连续的。

那么只需要把每个结点的答案存在对应的 dfs 序位置，就可以直接无痛继承了。

当然这里会增加一条边的权值，可以直接把它赋给当前结点的标记，最后从下到上累加标记就行。

考虑如何合并轻子结点的答案。根据长剖的复杂度分析，直接暴力线段树查询合并是可行的。

然后答案就直接分讨有拐点和无拐点的情况维护。

时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)

代码

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef double db;

const int maxn = 1e5 + 5;
const int t_sz = maxn << 2;
const db inf = 1e18;
const db eps = 1e-7;

int n, el, eu, cur;
int dep[maxn], son[maxn], pos[maxn], tow[maxn];
vector<int> g[maxn], w[maxn];
db del, ans;
db f[maxn], tag[maxn];

namespace SGT
{
    #define ls (k << 1)
    #define rs (k << 1 | 1)

    db val[t_sz];

    void clear(int k, int l, int r)
    {
        val[k] = -inf;
        if (l == r) return;
        int mid = (l + r) >> 1;
        clear(ls, l, mid), clear(rs, mid + 1, r);
    }

    void push_up(int k) { val[k] = max(val[ls], val[rs]); }

    void update(int k, int l, int r, int p, db w)
    {
        if (l == r)
        {
            val[k] = max(val[k], w);
            return;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (p <= mid) update(ls, l, mid, p, w);
        else update(rs, mid + 1, r, p, w);
        push_up(k);
    }

    db query(int k, int l, int r, int ql, int qr)
    {
        if ((l >= ql) && (r <= qr)) return val[k];
        int mid = (l + r) >> 1;
        db res = -inf;
        if (ql <= mid) res = max(res, query(ls, l, mid, ql, qr));
        if (qr > mid) res = max(res, query(rs, mid + 1, r, ql, qr));
        return res;
    }
}

void dfs1(int u, int fa)
{
    dep[u] = -1;
    for (int i = 0; i < g[u].size(); i++)
    {
        int v = g[u][i], d = w[u][i];
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v, u);
        if (dep[u] < dep[v]) dep[u] = dep[v], son[u] = v, tow[u] = d;
    }
    dep[u]++;
}

void dfs2(int u, int fa)
{
    if (!pos[u]) pos[u] = ++cur;
    int pu = pos[u];
    tag[pu] = f[pu] = 0;
    if (son[u])
    {
        dfs2(son[u], u);
        tag[pu] += tag[pu + 1] + tow[u] - del;
        f[pu] = -tag[pu];
    }
    SGT::update(1, 1, n, pu, f[pu]);
    for (int i = 0; i < g[u].size(); i++)
    {
        int v = g[u][i], d = w[u][i];
        if ((v == fa) || (v == son[u])) continue;
        dfs2(v, u);
        int pv = pos[v];
        for (int j = 1; j <= dep[v] + 1; j++)
            if (el - j <= dep[u])
            {
                db val = SGT::query(1, 1, n, pu + max(1, el - j), pu + min(eu - j, dep[u]));
                ans = max(ans, f[pv + j - 1] + tag[pu] + tag[pv] + val + d - del);
            }
        for (int j = 1; j <= dep[v] + 1; j++)
            if (d + f[pv + j - 1] + tag[pv] - del > tag[pu] + f[pu + j])
            {
                f[pu + j] = d + f[pv + j - 1] + tag[pv] - del - tag[pu];
                SGT::update(1, 1, n, pu + j, f[pu + j]);
            }
    }
    if (dep[u] >= el) ans = max(ans, tag[pu] + SGT::query(1, 1, n, pu + el, pu + min(eu, dep[u])));
}

bool check(db x)
{
    SGT::clear(1, 1, n);
    ans = -inf, del = x;
    dfs2(1, 0);
    return (ans >= 0);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &el, &eu);
    for (int i = 1, u, v, d; i <= n - 1; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &d);
        g[u].push_back(v), w[u].push_back(d);
        g[v].push_back(u), w[v].push_back(d);
    }
    dfs1(1, 0);
    db l = 0, r = 1e6;
    while (r - l > eps)
    {
        db mid = (l + r) / 2.0;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%.3lf\n", l);
    return 0;
}